Найдите наименьшее натуральное число, которое записыва- ется одинаковыми цифрами и делится на 693

Раскладываем 693 на простые множители

693=3²*7*11

Значит это число должно делится на 9, на 11 и на 7.

Правило деления на 9 самое простое.

Сумма всех цифр должна делится на 9.

Среди четырехзначных чисел из одинаковых цифр, сумма которых равна 4х только 9999 делится на 9. При х=9. 

Но это число не делится нацело на 693.

Значит среди четырехзначных чисел таких чисел нет.

Среди пятизначных чисел тоже таких чисел нет. Так как пятизначные числа с одинаковыми цифрами не делятся на 11. По правилу деления числа на 11 в десятеричной системе разность между суммой цифр на четных позициях между суммой цифр на нечетных позициях должна делиться на 11. А это возможно при четном количестве цифр.

Среди шестизначных чисел сумма тоже должна делится на 9.

6х делится на 9, если х кратно 3. Первое кратное трем х это 3.

Рассмотрим число 333333. Оно делится на 693. Получается 481. 

ответ: наименьшее натуральное число, которое записывается одинаковыми цифрами и делящееся на 693, это 333333.