Найдите наименьшее натуральное число, которое при прибавлении к нему 17 делится на 20, а при прибавлении к нему 20 делится на 17.

                  1 - ы й     с п о с о б .
Пусть наше число А.
     Запишем условие задания в виде:
А + 17 = 20Х  или А = 20Х - 17
А + 20 = 17У  или А = 17У - 20, где Х и У - натуральные числа
     Т.к. это одно и то же число А, то:
20Х - 17 = 17У - 20
20Х =  17У - 3  |:20
Х = 0,85У - 0,15
Х = У - 0,15У - 0,15
Х = У - 0,15(У+1) 
     Х будет целым числом, если разность в правой части будет целой, а это возможно, когда выражение в скобке будет равно 20 или кратно 20, т.е. если:
1) (У+1) = 20, то У = 19, и Х =19 - 0,15*20 = 16, тогда
А = 20Х - 17 = 20*16 - 17 = 303
2) (У+1) = 40, то У = 39 и Х = 39 - 0,15*(39+1) = 33
А = 20*33 - 17 = 643
     Т.е. Все числа 303 + 340*n  будут обладать свойством делиться на 10 про прибавлении 20 и на 20 при прибавлении 17., но 303 - наименьшее натуральное.
ответ: 303
                  2 - о й   с п о с о б.
      Более простым, думаю, будет рассуждение, что наименьшим числом, которое делится и на 17 и на 20 будет их наименьшее общее кратное. 
НОК(17; 20) = 340
    Нам надо найти число без 17 и без 20, чтобы при прибавлении одного из них получить возможность разделить на другое. 
Наше число 303 = 17*20 - 17 - 20
     Если к нему прибавить 20, то
303 + 30 = (17*20 - 17 - 20) +20 = 17*20 - 17 = 17*(20-1), т.е получаем число, нацело делящееся на 17
     Если к нему прибавить 17, то
303 +17 = (17*20 - 20 -17)+17 = 17*20 - 20 = 20*(17-1), т.е.получим число, делящееся нацело на 20
    И НОК(17; 20) - (17 + 20) = 303 - наименьшее, т.к. получено из НОК
ответ: 303

303+17=320:20=16
303+20=323:17=19