Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=(x-2)^-2 на полуинтервале (2; 4]. Можно с решением

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции y=(x-2)^-2 на полуинтервале (2; 4], мы сначала найдем производную этой функции, а затем рассмотрим точки, где производная равна нулю или не определена.

1. Найдем производную функции y=(x-2)^-2. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и цепным правилом:

y' = -2(x-2)^-3 * (1)

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю или не определена.

a) Производная не определена, когда знаменатель равен нулю:
(x-2)^-3 = 0

Так как мы не можем делить на ноль, то точек, где производная не определена, нет.

b) Производная равна нулю, когда числитель равен нулю:
-2(x-2)^-3 = 0

Умножим обе части уравнения на (-1/2):

(x-2)^-3 = 0

Так как мы не можем иметь нулевую степень, то точек, где производная равна нулю, также нет.

3. Теперь рассмотрим граничные точки полуинтервала (2; 4]:

a) Точка x=2:

Вычислим значение функции в точке x=2:
y(2) = (2-2)^-2 = 0^-2 = неопределено

Так как мы имеем нулевую степень, которая неопределена, то в точке x=2 функция не определена.

b) Точка x=4:

Вычислим значение функции в точке x=4:
y(4) = (4-2)^-2 = 2^-2 = 1/4

4. Итак, получаем, что наименьшее значение функции на полуинтервале (2; 4] равно 1/4 (достигается в точке x=4), а наибольшего значения нет, так как функция неопределена в точке x=2.

Вывод: Наименьшее значение функции y=(x-2)^-2 на полуинтервале (2; 4] равно 1/4, а наибольшего значения функции нет.