Найдите наибольшее значение функции y=-2/3x^3/2+6x+7
на отрезке [33;46]

Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Уравнение f'0(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной.

Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:

f'0(x*) = 0

f''0(x*) > 0

то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x* выполняется условие:

f'0(x*) = 0

f''0(x*) < 0

то точка x* - локальный (глобальный) максимум.  

Находим первую производную функции:

y' = -x2+6

Приравниваем ее к нулю:

-x^2+6 = 0

-x^2=-6

x^2=6

x1,2=+/-√6

Вычисляем значения функции:

f(-√6)=-4√6+7

f(√6)=7+4√6

Нам нужно fmax:

fmax=7+4√6

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

y'' = -2·x

Вычисляем:

y''=(√6)=-2√6<0

Значит это точка максимума функции.ответ:√6