Найдите на отрезке [0; 4] наименьшее значение функции y=x³-3x²-9x+31

Производная равна 3*x^2-6*x-9.
Приравняем её нулю и найдём критические точки.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-6)^2-4*3*(-9)=36-4*3*(-9)=36-12*(-9)=36-(-12*9)=36-(-108)=36+108=144;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√144-(-6))/(2*3)=(12-(-6))/(2*3)=(12+6)/(2*3)=18/(2*3)=18/6=3;

x_2=(-√144-(-6))/(2*3)=(-12-(-6))/(2*3)=(-12+6)/(2*3)=-6/(2*3)=-6/6=-1.

Второй корень не входит в заданный промежуток.
Определяем свойство производной в точке х=3.
х =    2    3     4
y' =  -9    0    15.
Производная меняет знак с минуса на плюс - это минимум функции.
Она равна 3³-3*3²-9*3+31 = 27-27-27+31 = 4.

ответ: наименьшее значение функции y=x³-3x²-9x+31 
на отрезке [0;4] равно 4.