Найдите квадрат разности девятого и седьмого членов арифметической прогрессии, если произведение восьмого и четвѐртого еѐ членов на 27 меньше произведения
седьмого и пятого еѐ членов.

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется некоторая информация о самой арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член является суммой предыдущего члена и одного и того же фиксированного числа, называемого разностью. В данном случае, по условию задачи, разность этой прогрессии нам неизвестна. Поэтому для решения задачи нам потребуется обозначить разность арифметической прогрессии буквой "d".

Для начала, давайте обозначим восьмой член арифметической прогрессии как "a8", четвёртый член как "a4", седьмой - как "a7", а пятый - как "a5".

Теперь, воспользуемся информацией из условия задачи. Мы знаем, что произведение восьмого и четвёртого членов прогрессии уменьшено на 27 по сравнению с произведением седьмого и пятого членов.

Из этого можно составить следующее уравнение:

a8 * a4 - 27 = a7 * a5

Также мы знаем, что квадрат разности девятого и седьмого членов равен (a9 - a7)². Нам нужно найти это значение.

Для того чтобы найти a9 и a7, воспользуемся формулой для общего члена арифметической прогрессии:

an = a1 + (n - 1)d

где an - n-й член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, n - номер члена прогрессии, d - разность прогрессии.

В нашем случае, мы ищем a9 и a7, поэтому n = 9 и n = 7 соответственно.

Теперь заменим значения в формуле:

a9 = a1 + (9 - 1)d
a7 = a1 + (7 - 1)d

Simplifying the equations:
a9 = a1 + 8d
a7 = a1 + 6d

Теперь, мы можем выразить a1 и d из полученных уравнений:

a1 = a7 - 6d
d = (a9 - a1) / 8

Теперь, вернёмся к уравнению, которое мы составили из условия задачи:

a8 * a4 - 27 = a7 * a5

Мы знаем, что a1 = a7 - 6d, поэтому теперь можем выразить a8 и a4 через a7 и d:

a8 = a7 + d
a4 = a7 - 3d

Заменим значения в уравнении:

(a7 + d) * (a7 - 3d) - 27 = a7 * a5

Раскроем скобки:

a7² + a7 * (-3d) + a7 * d - 3d² - 27 = a7 * a5

a7² + 4ad - 3d² - 27 = a7 * a5

Теперь, выразим уравнение через одну переменную:

a7 * a5 - a7² - 4ad + 3d² + 27 = 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить.

В итоге, квадрат разности девятого и седьмого членов арифметической прогрессии равен (a9 - a7)² = (a7 + d - a7)² = d².

Таким образом, нам нужно найти решение квадратного уравнения a7 * a5 - a7² - 4ad + 3d² + 27 = 0, и это будет ответом на задачу. Ответ будет представлять собой значение d².