Найдите кубический многочлен f(x) такой, что f(−1)=−1, f′(−1)=−1, f′′(−1)=10 и f′′′(−1)=−12.

Для решения данного вопроса, нам понадобится использовать полиномиальную функцию третьей степени, так как данное задание требует нахождения кубического многочлена.

Общий вид кубического многочлена выглядит следующим образом: f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Так как нам даны значения и производных функции в точке x = -1, мы можем использовать эти значения, чтобы составить систему уравнений и найти значения коэффициентов a, b, c и d.

Исходя из условия задачи, нам дано:
f(-1) = -1
f'(-1) = -1
f''(-1) = 10
f'''(-1) = -12

Давайте посмотрим, какие уравнения мы можем составить, используя данные точки и значения производных.

1. Уравнение для значения f(-1):
-1 = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d
-1 = -a + b - c + d (уравнение 1)

2. Уравнение для значения f'(-1):
-1 = 3a(-1)^2 + 2b(-1) + c
-1 = 3a - 2b + c (уравнение 2)

3. Уравнение для значения f''(-1):
10 = 6a(-1) + 2b
10 = -6a + 2b (уравнение 3)

4. Уравнение для значения f'''(-1):
-12 = 6a
-2 = a (уравнение 4)

Теперь, после нахождения значения a = -2, мы можем подставить его в уравнение 3 и найти значение b:

10 = -6*(-2) + 2b
10 = 12 + 2b
-2 = 2b
-1 = b

Теперь, после нахождения значения b = -1, мы можем подставить значения a и b в уравнения 1 и 2, чтобы найти значения c и d:

Уравнение 1:
-1 = -(-2) + (-1) - c + d
-1 = 2 - 1 - c + d
-1 = 1 - c + d
c - d = 2 (уравнение 5)

Уравнение 2:
-1 = 3*(-2) - 2*(-1) + c
-1 = -6 + 2 + c
-1 = -4 + c
c = 3

Теперь, когда мы нашли значение c = 3, мы можем подставить его в уравнение 5 для нахождения значения d:

3 - d = 2
d = 3 - 2
d = 1

Таким образом, мы получили значения коэффициентов многочлена:
a = -2, b = -1, c = 3, d = 1

Итак, кубический многочлен, который удовлетворяет заданным условиям, имеет вид:
f(x) = -2x^3 - x^2 + 3x + 1.