Найдите корни симметрического многочлена 1)x⁴+5x³+2x²+5x+1
2)x⁴+2x³-x²+2x+1
3)x⁴+2x³-x²-2x+1
4)2x⁴-5x³+4x²-5x+2
5)x³-2x²-2x+1
6)x⁵+2x³+2x²+1
с решением очень нужно​

Давайте посмотрим на каждый из этих многочленов по отдельности и найдем их корни.

1) x⁴ + 5x³ + 2x² + 5x + 1

Для начала, давайте попробуем применить теорему о рациональных корнях (теорема о делителях многочлена).

Согласно этой теореме, все рациональные корни (если они существуют) данного многочлена должны быть делителями свободного члена (в данном случае 1) поделенными на делители старшего коэффициента (в данном случае 1). Таким образом, все возможные рациональные корни этого многочлена равны ±1.

Для проверки, давайте попробуем подставить ±1 в многочлен и проверить, являются ли они его корнями:

При x = 1: (1)⁴ + 5(1)³ + 2(1)² + 5(1) + 1 = 1 + 5 + 2 + 5 + 1 = 14, что не равно нулю.
При x = -1: (-1)⁴ + 5(-1)³ + 2(-1)² + 5(-1) + 1 = 1 - 5 + 2 - 5 + 1 = -6, что не равно нулю.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что x = ±1 не являются корнями этого многочлена.

Для того чтобы найти корни данного многочлена, мы можем попробовать другие значения для x, применяя метод подстановки.

Давайте начнем с x = 0:
Подставляя x = 0 в многочлен, мы получаем:
(0)⁴ + 5(0)³ + 2(0)² + 5(0) + 1 = 1, что не равно нулю.

Давайте теперь попробуем положительные и отрицательные значения x по очереди:
При x = 2: (2)⁴ + 5(2)³ + 2(2)² + 5(2) + 1 = 16 + 40 + 8 + 10 + 1 = 75, что не равно нулю.
При x = -2: (-2)⁴ + 5(-2)³ + 2(-2)² + 5(-2) + 1 = 16 - 40 + 8 - 10 + 1 = -25, что не равно нулю.
При x = 3: (3)⁴ + 5(3)³ + 2(3)² + 5(3) + 1 = 81 + 135 + 18 + 15 + 1 = 250, что не равно нулю.
При x = -3: (-3)⁴ + 5(-3)³ + 2(-3)² + 5(-3) + 1 = 81 - 135 + 18 - 15 + 1 = -50, что не равно нулю.

Пока мы еще не нашли корни многочлена.

2) x⁴ + 2x³ - x² + 2x + 1

Аналогично первому многочлену, мы можем применить теорему о рациональных корнях для нахождения возможных рациональных корней. В данном случае, все возможные рациональные корни равны ±1.

Давайте проверим, являются ли ±1 корнями этого многочлена:
При x = 1: (1)⁴ + 2(1)³ - (1)² + 2(1) + 1 = 1 + 2 - 1 + 2 + 1 = 6, что не равно нулю.
При x = -1: (-1)⁴ + 2(-1)³ - (-1)² + 2(-1) + 1 = 1 - 2 - 1 - 2 + 1 = -3, что не равно нулю.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что x = ±1 не являются корнями этого многочлена.

Давайте теперь попробуем другие значения для x, снова используя метод подстановки:

При x = 0: (0)⁴ + 2(0)³ - (0)² + 2(0) + 1 = 1, что не равно нулю.

Давайте теперь попробуем положительные и отрицательные значения x по очереди:
При x = 2: (2)⁴ + 2(2)³ - (2)² + 2(2) + 1 = 16 + 16 - 4 + 4 + 1 = 33, что не равно нулю.
При x = -2: (-2)⁴ + 2(-2)³ - (-2)² + 2(-2) + 1 = 16 - 16 - 4 - 4 + 1 = -11, что не равно нулю.
При x = 3: (3)⁴ + 2(3)³ - (3)² + 2(3) + 1 = 81 + 54 - 9 + 6 + 1 = 133, что не равно нулю.
При x = -3: (-3)⁴ + 2(-3)³ - (-3)² + 2(-3) + 1 = 81 - 54 - 9 - 6 + 1 = 13, что не равно нулю.

Также в этом случае мы пока не нашли корни многочлена.

3) x⁴ + 2x³ - x² - 2x + 1

Повторим процедуру для этого многочлена, применяя теорему о рациональных корнях.

Все возможные рациональные корни равны ±1.

Проверим, являются ли ±1 корнями этого многочлена:
При x = 1: (1)⁴ + 2(1)³ - (1)² - 2(1) + 1 = 1 + 2 - 1 - 2 + 1 = 1, что не равно нулю.
При x = -1: (-1)⁴ + 2(-1)³ - (-1)² - 2(-1) + 1 = 1 - 2 - 1 + 2 + 1 = 1, что не равно нулю.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что x = ±1 не являются корнями этого многочлена.

Теперь, используя метод подстановки, давайте попробуем другие значения для x:

При x = 0: (0)⁴ + 2(0)³ - (0)² - 2(0) + 1 = 1, что не равно нулю.

При x = 2: (2)⁴ + 2(2)³ - (2)² - 2(2) + 1 = 16 + 16 - 4 - 4 + 1 = 25, что не равно нулю.
При x = -2: (-2)⁴ + 2(-2)³ - (-2)² - 2(-2) + 1 = 16 - 16 - 4 + 4 + 1 = 1, что не равно нулю.
При x = 3: (3)⁴ + 2(3)³ - (3)² - 2(3) + 1 = 81 + 54 - 9 - 6 + 1 = 121, что не равно нулю.
При x = -3: (-3)⁴ + 2(-3)³ - (-3)² - 2(-3) + 1 = 81 - 54 - 9 + 6 + 1 = 25, что не равно нулю.

Мы также пока не нашли корни.

4) 2x⁴ - 5x³ + 4x² - 5x + 2

Применяем ту же процедуру, чтобы найти корни этого многочлена.

В данном случае, все возможные рациональные корни равны ±1 и ±2.

Для начала, проверим корни, равные ±1:
При x = 1: 2(1)⁴ - 5(1)³ + 4(1)² - 5(1) + 2 = 2 - 5 + 4 - 5 + 2 = -2, что не равно нулю.
При x = -1: 2(-1)⁴ - 5(-1)³ + 4(-1)² - 5(-1) + 2 = 2 + 5 + 4 + 5 + 2 = 18, что не равно нулю.

Теперь проверим корни, равные ±2:
При x = 2: 2(2)⁴ - 5(2)³ + 4(2)² - 5(2) + 2 = 32 - 40 + 16 - 10 + 2 = 0.
При x = -2: 2(-2)⁴ - 5(-2)³ + 4(-2)² - 5(-2) + 2 = 32 + 40 + 16 + 10 + 2 = 100, что не равно нулю.

Таким образом, мы нашли один корень многочлена: x = 2. Для нахождения остальных корней, мы можем разделить исходный многочлен на x - 2, используя синтетическое деление или долгое деление многочленов.

5) x³ - 2x² - 2x + 1

В данном случае, мы уже не можем применить теорему о рациональных корнях, так как этот многочлен не является симметричным и не имеет свободного члена.

Мы можем попробовать подставить различные значения для x: 0, ±1, ±2, ±3 и т.д., чтобы найти корни этого многочлена.

При x = 0: (0)³ - 2(0)² - 2(0) + 1 = 1, что не равно нулю.

При x = 1: (1)³ - 2(1)² - 2(1) + 1 = 1 - 2 - 2 + 1 = -2, что не равно нулю.

Давайте также попробуем положительные и отрицательные значения x:
При x = 2: (2)³ - 2(2)² - 2(2) + 1 = 8 - 8 - 4 + 1 = -3, что не равно нулю.
При x = -2: (-2)³ - 2(-2)² - 2(-2) + 1 = -8 - 8 + 4 + 1 = -11, что не равно нулю.
При x = 3: (3)³ - 2(3)² - 2(3) + 1 = 27 - 18 - 6 + 1 = 4, что не равно нулю.
При x = -3: (-3)³ - 2(-3)² - 2(-3) + 1 = -27 - 18 + 6 + 1 = -38, что не равно нулю.

Пока мы также не нашли корни многочлена.

6) x⁵ + 2x³ + 2x² + 1

Для данного многочлена мы также не можем применить теорему о рациональных корнях, так как он не является симметричным и не имеет свободного члена.

Мы можем попробовать применить метод подстановки, подставляя различные значения для x: 0, ±1, ±2, ±3 и т.д.

При x = 0: (0)⁵ + 2(0)³ + 2(0)² + 1 = 1, что не равно нулю.

При x = 1: (1)⁵ + 2(1)³ + 2(1)² + 1 = 1 + 2 + 2 + 1 = 6, что не равно нулю.

Давайте также попробуем положительные и отрицательные значения x:
При x = 2: (2)⁵ + 2(2)³ + 2(2)² + 1 = 32 + 16 + 8 + 1 = 57, что не равно нулю.
При x = -2: (-2)⁵ + 2(-2)³ + 2(-2)² + 1 = -32 - 16 + 8 + 1 = -39, что не равно нулю.
При x = 3: (3)⁵ + 2(3)³ + 2(3)² + 1 = 243 + 54 + 18 + 1 = 316, что не равно нулю.
При x = -3: (-3)⁵ + 2(-3)³ + 2(-3)² + 1 = -243 - 54 + 18 + 1 = -278, что не равно нулю.

Пока мы не нашли корни этого многочлена.

Итак, суммируя все результаты, мы пока не смогли найти корни симметрических многочленов 1), 2), 3), 5) и 6).
Однако, мы нашли один корень многочлена 4) - x = 2.

Для более точного определения корней многочленов, можно использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления. Эти методы позволяют найти корни с большей точностью, однако, требуют более сложных вычислений и не всегда гарантируют точное решение.