Найдите координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов, постройте данный эллипс: 4x2+9y2=36

Чтобы найти координаты вершин, оси, фокусов и эксцентриситет эллипса, сначала нужно привести уравнение эллипса к каноническому виду.

Канонический вид уравнения эллипса имеет следующий вид: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, где (h,k) - координаты центра эллипса, а a и b - полуоси эллипса. В нашем случае у нас есть уравнение 4x² + 9y² = 36.

Шаг 1: Разделим обе части уравнения на 36, чтобы привести его к виду справа равной 1:
(4x²/36) + (9y²/36) = 1
x²/9 + y²/4 = 1

Шаг 2: Перенесем правую часть уравнения в левую и приведем его к общему знаменателю:
(1/9)(x²) + (1/4)(y²) - 1 = 0
(4x² + 9y² - 36) / 36 = 0

Шаг 3: Для удобства работы заменим x² на (x-h)² и y² на (y-k)²:
(4/h²)(x-h)² + (9/k²)(y-k)² - 1 = 0

Шаг 4: Сравним полученное уравнение с каноническим видом эллипса и сделаем соответствующие выводы:
(h²/4) = 9
h² = 36
h = ±6

(k²/9) = 4
k² = 36
k = ±6

Значит, центр эллипса находится в точке (h, k) = (±6, ±6).

Шаг 5: Чтобы найти полуоси a и b, возьмем их из знаменателей в уравнении:
a = √(36/4) = 3
b = √(36/9) = 2

Таким образом, полуоси эллипса равны a = 3 и b = 2.

Шаг 6: Найдем фокусы эллипса. Для этого воспользуемся формулой:

c = √(a² - b²)

c = √(3² - 2²) = √(9 - 4) = √5

Фокусы находятся на расстоянии c от центра эллипса вдоль оси Х. Поэтому, координаты фокусов будут: (6±√5, 6)

Шаг 7: Рассчитаем эксцентриситет эллипса:
эксцентриситет (e) = c/a = √5/3

Таким образом, координаты вершин, оси, фокусов и эксцентриситет эллипса равны:
Вершины: (±6, ±6)
Оси: Х и Y
Фокусы: (6±√5, 6)
Эксцентриситет: √5/3

Чтобы построить данный эллипс, можно использовать две полуоси a и b из шага 5, центр эллипса (±6, ±6) и фокусы (6±√5, 6). Начинайте с центра, затем проведите полуоси и наконец отметьте фокусы. Соедините эти точки гладкой линией, чтобы получить эллипс.