Найдите координаты проекции точки а (4; 3) на прямую вс с уравнением 2х+5-у=0

Question

Математика: Найдите координаты проекции точки а (4; 3) на прямую вс с уравнением 2х+5-у=0

taty30 · Answer

Проекция точки А на прямую ВС есть перпендикуляр из точки А на ВС. Найдём уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной ВС. Назовем эту прямую АМ.

Угловой коэффициент прямой ВС равен 2, значит, угловой коэф-т АМ равен 1/2.

Уравнение пучка прямых: y-y_1=k(x-x_1)

Подставим в это уравнение угловой коэффициент и координаты точки А, и получим уравнение прямой АМ:

$y-3=\frac12(x-4)\\y-3=\frac12x-2\\\frac12x-y+1=0$

Запишем уравнения прямых с угловым коэфиициентом:

ВС: y=2x+5

AM: y=1/2x+1

Координаты проекции точки А на ВС - это координаты точки пересечения АМ и ВС:

$\begin{cases} y=2x+5\\ y=\frac12x+1 \end{cases}\Rightarrow2x+5=\frac12x+1\Rightarrow\frac32x=\\=-4\Rightarrow x=-4\cdot\frac23=-\frac{8}3=-2\frac23\\y=2\cdot(-\frac83)+5=-\frac{16}3+5=-\frac13$