Найдите количество четырехзначных натуральных чисел, в десятичной записи которых используется ровно две различные цифры

Ответы

bog2017 15.10.2020 16:17

Все такие числа разобьем на две группы: в записи которых есть ноль и в записи которых нет нуля.

1. Найдем количество чисел, в записи которых нет нуля.

Найдем число выбрать 2 цифры, участвующие в записи числа, из 9 оставшихся:

$C_9^2=\dfrac{9\cdot8}{2} =36$

Найдем сколькими можно составить четырехзначное число, используя для этого две цифры:

2^4=16

Заметим, что в одном из этих используется только первая цифра и еще в одном из используется только вторая. Так как по условию необходимо использовать ровно две различные цифры, то эти не нужно учитывать. Таким образом, число составить четырехзначное число с требуемым ограничением:

2^4-2=14

Итак, выбрать цифры для записи числа можно и для каждого из них можно записать 14 чисел. Значит, всего чисел, в записи которых нет нуля, можно записать:

$36\cdot14=\boxed{504}$

2. Найдем количество чисел, в записи которых есть ноль.

Вторую цифру для записи числа из 9 оставшихся можно выбрать, очевидно

Найдем сколькими можно составить четырехзначное число, используя для этого две цифры, одна из которых 0. На первом месте не может находиться цифра 0, так как в противном случае число не будет четырехзначным. Значит, вариантов составления четырехзначного числа:

2^3=8

Отметим, что среди этих есть один недопустимый - когда на последних трех местах повторяется цифра, отличная от нуля. На первом месте однозначно находится она же, значит всего в записи числа будет использоваться одна цифра, что не соответствует условию. Значит, число составить четырехзначное число, учитывая ограничение:

2^3-1=7

Таким образом, выбрать цифры для записи числа можно и для каждого из них можно записать 7 чисел. Значит, всего чисел, в записи которых есть ноль, можно записать:

$9\cdot7=\boxed{63}$