Найдите количество целочисленных решений неравенства ( x^2+x-6)/(1+ctg^2(πx/2))≤0

Очевидно, знаменатель дроби всегда положителен, поэтому дробь неположительна тогда и только тогда, когда неположителен числитель. Кроме того, не стоит забывать, что ctgy=cosy/siny, поэтому sin(πx/2)<>0, откуда следует πx/2<>πk, x<>2k, где k - некоторое целое число, то есть x не может быть чётным числом, иначе произойдёт деление на 0.

Теперь решим неравенство x^2+x-6<=0, (x-2)(x+3)<=0, значит, x может быть целым числом из отрезка [-3;2]. Но чётные числа нам не подходят, а нечётных на этом отрезке 3.