Найдите функцию f(x), для которой f(x) = tg 4x первообразная на (-п/9; п/9).

Для нахождения функции f(x), для которого f(x) = tg 4x является первообразной на интервале (-п/9; п/9), мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна tg 4x.

Для этого мы будем использовать обратную операцию к дифференцированию - интегрирование.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) = tg 4x. Для этого используем формулу дифференцирования тангенса: (tg x)' = sec^2(x).

Таким образом, f'(x) = (tg 4x)' = 4 * sec^2(4x).

Шаг 2: По условию, функция f(x) должна быть первообразной для данной производной на интервале (-п/9; п/9). Это означает, что её производная должна быть равна заданной функции только на этом интервале.

Таким образом, мы должны найти функцию F(x), такую что F'(x) = 4 * sec^2(4x), и на интервале (-п/9; п/9) F'(x) = tg 4x.

Шаг 3: Интегрируем обе части уравнения F'(x) = 4 * sec^2(4x) по переменной x.

∫F'(x) dx = ∫4 * sec^2(4x) dx.

F(x) = ∫4 * sec^2(4x) dx.

Шаг 4: Для решения этого интеграла мы можем использовать формулу интегрирования функции sec^2(x), которая у нас в итоге получается F(x) = ∫4 * sec^2(4x) dx = ∫4 * (1 + tg^2(4x)) dx.

F(x) = 4 * (x + ∫tg^2(4x) dx).

Шаг 5: Теперь мы должны найти интеграл ∫tg^2(4x) dx. Для этого воспользуемся формулой интегрирования функции тангенса в квадрате: ∫tg^2(x) dx = tg(x) - x.

Таким образом, наше уравнение принимает вид F(x) = 4 * (x + tg^2(4x)/4).

Шаг 6: Заменяем переменную x на t, чтобы получить итоговую функцию f(t): f(t) = 4 * (t + tg^2(4t)/4), где t = 4x.

Таким образом, мы найдем функцию f(x), для которой f(x) = tg 4x будет первообразной на интервале (-п/9; п/9). Итоговая функция f(x) = 4 * (x + tg^2(4x)/4).