Найдите больший острый угол прямоугольного треугольнике, если высота проведенная к гипотенузе в 4 раза меньше гипотенузы

75°

Пошаговое объяснение:

Задание

Найдите больший острый угол прямоугольного треугольника, если высота, проведенная к гипотенузе, в 4 раза меньше гипотенузы.

Решение

Теорема: около любого прямоугольного треугольника можно описать окружность, в которой гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром этой окружности, а медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, - её радиусом.  

1) Обозначим исходный треугольник АВС (угол С - прямой, АВ - гипотенуза) и выполним вс построения:

- проведём из вершины прямого угла С медиану СМ к гипотенузе АВ;  

- из того же угла С проведём высоту СН к гипотенузе АВ.

Так как около любого прямоугольного треугольника можно описать окружность, в котором гипотенуза является диаметром, то точка М является центром этой окружности, а медиана СМ и отрезки АМ и МВ гипотенузы АВ - её радиусами, равными половине диаметра, то есть половине гипотенузы АВ:  

СМ = АМ = МВ = R = 1/2 АВ.

2) Согласно условию задачи, СН = 1/4 АВ, а это значит, что СН равен:

СН = 1/2 СМ, так как СМ = 1/ АВ.

Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике СМН (угол Н - прямой) катет СН равен половине гипотенузы СМ, то есть лежит против угла М, равного 30°.

Следовательно, в равнобедренном треугольнике СМВ (СМ=МВ=R):

∠С = ∠В = (180 - 30) : 2 = 75°.

3) Так как ∠В является также и углом треугольника АВС, то из этого следует, что он является большим острым углом и равен 75°.

ответ: 75°.