Найдите: а) sin4α,если tg2α=3;

б) cos4α,если tg2α=8;

в) sinα,cosα,tgα,ctgα,если tg α/2=0.5;

г) cosα+sinα,если tg α/2=3;

д) sinα-cosα,если tg α/2=3.

4) Вычислите sinα и cosα,если tg α/2=-2.4 и 90<α/2<135. Как решить подскажите

Школьный учитель:

а) Чтобы найти sin4α, нам понадобится значение tg2α. Из условия мы знаем, что tg2α=3.

Начнем с определения tg(2α) через sin и cos: tg(2α) = (2sinαcosα) / (cos^2α - sin^2α)

Зная, что tg2α=3, мы можем записать уравнение:

3 = (2sinαcosα) / (cos^2α - sin^2α)

Чтобы найти sin4α, нам понадобится формула двойного угла:

sin(2α) = 2sinαcosα

Применяя эту формулу, мы получаем:

sin(2α) = 2sinαcosα = 2 * (sinα) * (1 - sin^2α)
Теперь мы можем применить формулы синуса и косинуса:

sin^2α + cos^2α = 1

cos^2α = 1 - sin^2α

sin^2α + (1 - sin^2α) = 1

1 = 1

cos^2α - sin^2α = cosα + sinα

Теперь мы можем вернуться к исходному уравнению:

3 = (2sinαcosα) / (cos^2α - sin^2α)

Подставляем cos^2α - sin^2α = cosα + sinα:

3 = (2sinαcosα) / (cosα + sinα)

Умножаем обе части уравнения на (cosα + sinα):

3(cosα + sinα) = 2sinαcosα

Раскрываем скобки:

3cosα + 3sinα = 2sinαcosα

Теперь мы можем найти значние sin4α, используя формулу sin(2α):

sin(2α) = 2sinαcosα

4sinαcosα = 2sinαcosα + 2sinαcosα

sin4α = 2sinαcosα + 2sinαcosα

Ответ: sin4α = 2sinαcosα + 2sinαcosα

б) Точно так же, чтобы найти cos4α, нам также понадобится значение tg2α. Из условия мы знаем, что tg2α=8.

Процедура будет аналогична a) заданию. Мы найдем значение sin4α, а затем воспользуемся формулой sin^2α + cos^2α = 1, чтобы найти cos^2α. После этого мы можем найти значение cos4α, используя формулу cos(2α) = cos^2α - sin^2α.

в) Чтобы найти sinα, cosα, tgα, ctgα при данном значении tg (α/2), мы можем воспользоваться формулами половинного угла. Из условия мы знаем, что tg(α/2) = 0.5.

Формулы половинного угла:

sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2] [1]
cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2] [2]

tg(α/2) = sin(α/2) / cos(α/2)

Используя формулы [1] и [2], мы можем записать:

0.5 = ±√[(1 - cosα) / 2] / ±√[(1 + cosα) / 2]

0.5 = √[(1 - cosα) / (1 + cosα)]

Теперь мы можем решить уравнение и найти значения sinα, cosα, tgα, ctgα.

г) Чтобы найти cosα + sinα при данном значении tg(α/2), мы можем использовать формулы половинного угла, чтобы найти sin(α/2) и cos(α/2). Затем мы можем применить формулы сложения для sin и cos:

sinα = 2sin(α/2)cos(α/2)
cosα = cos^2(α/2) - sin^2(α/2)

После нахождения sinα и cosα, мы можем сложить их, чтобы найти значение cosα + sinα.

д) Аналогично г), чтобы найти sinα - cosα при данном значении tg(α/2), мы можем использовать формулы половинного угла, чтобы найти sin(α/2) и cos(α/2). Затем мы можем применить формулы вычитания для sin и cos:

sinα = 2sin(α/2)cos(α/2)
cosα = cos^2(α/2) - sin^2(α/2)

После нахождения sinα и cosα, мы можем вычесть cosα из sinα, чтобы найти значение sinα - cosα.

4) Чтобы вычислить sinα и cosα, если у нас дано значение tg(α/2), мы должны использовать формулы половинного угла, как описано выше. Однако, в данном случае у нас также даны ограничения для угла α: 90° < α/2 < 135°.

Из данного диапазона можно сделать вывод, что α/2 находится во второй четверти. Во второй четверти sinα и cosα являются отрицательными. Поэтому при нахождении sin(α/2) и cos(α/2) мы должны использовать отрицательные значения, а затем применить формулы из предыдущего пункта:

sinα = 2sin(α/2)cos(α/2)
cosα = cos^2(α/2) - sin^2(α/2)

После нахождения sinα и cosα мы можем использовать ограничения, чтобы определить более конкретные значения.