Найди общие точки уравнения окружности (х-3)вквадрате + (у-5)вквадрате=4 и прямой х+у=10

Question

Математика: Найди общие точки уравнения окружности (х-3)вквадрате + (у-5)вквадрате=4 и прямой х+у=10

danilenkoalisk · Answer

Имеем окружность с центром О(3,4) и радиусом 2.

Для начала убедимся, что прямая и окружность имеют общие точки. Для этого расчитаем расстояние от центра окружности до прямой:

$d=\left | \frac{Ax_1+Bx_2+C}{\sqrt{A^2+B^2}} \right |=\left | \frac{1\cdot3+1\cdot5-10}{\sqrt{1^2+1^2}} \right |=\left |\frac{-2}{\sqrt2} \right |=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2<2$

Расстояние от центра до прямой меньше радиуса, значит, окружность и прямая имеют две общие точки. Найдём их координаты. Для это запишем уравнение прямой в виде y=kx+b:

$x+y=10\Rightarrow y=-x+10$

Подставим значение y в уравнение окружности и найдём абсциссы точек пересечения, решив получившееся квадратное уравнение:

$(x-3)^2+(-x+10-5)^2=4\\x^2-6x+9+(5-x)^2-4=0\\x^2-6x+5+25-10x+x^2=0\\2x^2-16x+30=0\quad\div2\\x^2-8x+15=0\\D=64-4\cdot1\cdot15=64-60=4=2^2\\x_1=\frac{8+2}2=5\\x_2=\frac{8-2}{2}=3$