Найди наибольшее и наименьшее значения степенной функции при y= x в степени 3/2 на отрезке (1;4)

Хорошо, давай разберем этот вопрос поэтапно.

1. Сначала определим, что такое степенная функция. Степенная функция имеет вид y = x^n, где x - переменная, а n - показатель степени. В данном случае n = 3/2.

2. Задача заключается в поиске наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке (1;4), то есть мы должны найти максимальное и минимальное значение y при изменении x внутри этого отрезка.

3. Чтобы найти решение, мы можем применить производную. Производная показывает, как меняется функция при изменении ее аргумента. В данном случае, нам нужно найти производную функции y = x^(3/2).

Для нахождения производной степенной функции с показателем степени n, мы можем использовать правило дифференцирования: d(x^n)/dx = n*x^(n-1).

Применим это правило к нашей функции y = x^(3/2):

dy/dx = (3/2)*x^(3/2 - 1) = (3/2)*x^(1/2).

4. Теперь, найдя производную функции, мы можем использовать ее для определения экстремальных точек нашей функции. Экстремальная точка может быть точкой максимума или минимума функции.

Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:

(3/2)*x^(1/2) = 0.

Решая это уравнение, мы находим, что x = 0.

5. Однако, нам нужно найти значения на отрезке (1;4). Проверим, находится ли x = 0 в пределах этого отрезка. Мы видим, что x = 0 не входит в данный отрезок, поэтому мы можем исключить эту точку из рассмотрения.

6. Теперь, чтобы найти максимальное и минимальное значение функции на отрезке (1;4), нам нужно также рассмотреть граничные точки этого отрезка.

Подставим граничные точки x = 1 и x = 4 в нашу функцию y = x^(3/2):

При x = 1, y = 1^(3/2) = 1.

При x = 4, y = 4^(3/2) = 8.

7. Итак, мы получили, что наибольшее значение функции на отрезке (1;4) равно 8, а наименьшее значение равно 1.

Ответ: Наибольшее значение функции при y = x^(3/2) на отрезке (1;4) равно 8, а наименьшее значение равно 1.