Населенные пункты а и в расположены по одну сторону от реки. через реку намечено построить мост. в каком месте следует возвести этот мост, чтобы сумма расстояний от пунктов а и в до моста была наименьшей.

Отразим  точку  A относительно  линии  реки.  A' -отражение  точки  A. Соединим  точки A' и B . И  в пересечении  с  линией реки обозначим  точку G. Как  вы наверное догадались, это  и есть та золотая точка  ,что  сумма  расстояний от  нее  до пунктов наименьшая. Причем A'G отражение  отрезка  AG. A'G=AG.Откуда : AG+BG=A'G+BG=A'B.
Докажем это:   
Отметим  на линии реки произвольную точку X.
Откуда по  тому же принципу :  AX отражение A'X. AX=A'X.
Таким образом: AX+BX=A'X+BX
По  неравенству треугольника  A'XB:
A'X+BX>=A'B
То есть: AX+BX>=A'B
А  значит  расстояние A'B является наименьшим  из всех  сумм расстояний при  произвольно взятых X.
При  этом треугольник A'XB вырожденный.
Что возможно  лишь когда точка X совпадает  с точкой G.
Таким  образом точка G искомая.