Написать разложение вектора х по векторам p,q,r. х(8,1,12) p(1,2,-1,) q(3.0.2) r( -1,1,1)

Система 3 уравнений с 3 неизвестными если х=хp+yq+zr, то,
8=x+3y-z     1=2x+z   12= -x+2y+x 
Последнее не так, 12=-x+2y+z 
Решение х= -1 y=4 z=3 
x= -p+4q+3r 

Чтобы разложить вектор х по векторам р, q и r, мы можем использовать метод подстановки. Мы хотим найти коэффициенты a, b и c такие, что х = a * р + b * q + c * r.

Давайте приступим к решению:

Пусть х = а * р + b * q + c * r.

Заменяем значения векторов:

(8,1,12) = а * (1,2,-1) + b * (3,0,2) + c * (-1,1,1).

Раскрываем скобки:

(8,1,12) = (а,2а,-а) + (3b,0,2b) + (-c,c,c).

Собираем одинаковые компоненты в одну:

8 = а + 3b - с,
1 = 2а + с,
12 = -а + 2b + с.

Теперь у нас есть система уравнений:

а + 3b - с = 8,
2а + с = 1,
-а + 2b + с = 12.

Мы можем решить эту систему уравнений методом замещения или методом матриц. Давайте воспользуемся методом замещения:

Из второго уравнения получаем с = 1 - 2а.

Подставляем это значение с в первое и третье уравнения:

а + 3b - (1 - 2а) = 8,

-а + 2b + (1 - 2а) = 12.

Упрощаем:

а + 3b + 2а - 1 = 8,

-а + 2b + 1 - 2а = 12.

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными. Давайте решим их последовательно.

Из первого уравнения выразим b:

3b + 3а = 9,

3b = 9 - 3а,

b = 3 - а.

Теперь подставим это значение b во второе уравнение:

-а + 2(3 - а) + 1 - 2а = 12.

Раскрываем скобки:

-а + 6 - 2а + 1 - 2а = 12.

Собираем a и -а вместе:

-5а + 7 = 12.

Вычитаем 7 из обеих сторон:

-5а = 5.

Делим на -5:

а = -1.

Теперь, когда у нас есть значение а, мы можем найти значения b и с:

b = 3 - (-1) = 4,

с = 1 - 2*(-1) = 3.

Итак, разложение вектора х по векторам р, q и r будет:

х = -1 * р + 4 * q + 3 * r.

Подставим значения векторов:

х = -1 * (1,2,-1) + 4 * (3,0,2) + 3 * (-1,1,1).

Выполняем умножение:

х = (-1, -2, 1) + (12, 0, 8) + (-3, 3, 3).

Складываем векторы для получения окончательного ответа:

х = (8, 1, 12).

Таким образом, разложение вектора х по векторам р, q и r будет х = (8, 1, 12).