Надо найти наименьшее значение функции​

Функция является квадратичной относительно переменной y.

Графиком квадратичной функции является парабола

Так как коэффициент при y^2 равен 1, ветви параболы направлены вверх.

Значит, наименьшее значение достигается в вершине.

Абсцисса вершины

y₀=-b/2a=6(√(tgx)+1)/2=3√(tgx)+3  является функцией, зависящей от х

Функция определена при

tgx  ≥0

и  возрастает, как композиция двух возрастающих функций:

Доказать можно по определению:

из того, что x₁>x₂  и tgx возрастающая на [0; (π/2)+πk; k∈Z) со значениями [0;+∞), следует, что

tgx₁ > tgx₂  

Так как функция корень квадратный возрастает на [0;+∞),  то

√tgx₁ >√ tgx₂  ⇒3√tgx₁ >3√ tgx₂  ⇒3√tgx₁+3 >3√ tgx₂+3

Наименьшее значение при х=0+πk; k∈Z

y₀=3

f(0+πk; 3)=9-6(0+1)+9/1=12

k∈Z

О т в е т. 12