Надо! найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямыми y=12 , y=15 и осью oy

Хорошо, давайте начнем с решения этой задачи.

1. Вначале нам нужно найти точки пересечения графика функции с прямыми y=12 и y=15. Это позволит нам определить интервал, в котором находится искомая фигура.

Для этого приравняем функцию к y=12 и решим уравнение:
3√(2x+8) = 12

Делим обе части уравнения на 3, получаем:
√(2x+8) = 4

Возводим обе части уравнения в квадрат, получаем:
2x+8=16

Вычитаем 8 из обеих частей уравнения:
2x=8

Делим обе части уравнения на 2:
x=4

То есть точка пересечения с прямой y=12 равна (4, 12).

Теперь проделаем то же самое с прямой y=15:
3√(2x+8) = 15
√(2x+8) = 5
2x+8 = 25
2x = 17
x = 8,5

То есть точка пересечения с прямой y=15 равна (8,5, 15).

2. Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем определить интервал, на котором расположена искомая фигура, это будет интервал между x=4 и x=8,5.

3. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции, прямыми y=12 и y=15, а также осью oy, мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади фигуры ограниченной функцией на заданном интервале.

Обращаем внимание на то, что график функции ограничен сверху прямой y=15 и снизу прямой y=12.

4. Вычисляем площадь фигуры, ограниченной функцией и прямыми:

Прямая y=12 параллельна оси x, поэтому мы можем определить, что эта прямая ограничивает область снизу.

Найдем границы интервала x = 4 и x = 8.5 и подставим их в функцию , чтобы определить границы интервала по оси y:

y1=3√(2*4+8) = 12
y2=3√(2*8.5+8) ≈ 15.85

Таким образом, фигура ограничена границами x = 4 и x = 8,5, а по оси y - прямыми y=12 и y=15.

5. Площадь фигуры можно найти с помощью интеграла:
∫[a,b] [3√(2x+8) - 12 ] dx

Где [a,b] - границы по оси x (в нашем случае это 4 и 8,5).

6. Подставим границы и вычислим интеграл:
∫[4,8.5] [3√(2x+8) - 12 ] dx

В этом случае мы можем разделить интеграл на два:
∫[4,8.5] 3√(2x+8) dx - ∫[4,8.5] 12 dx

7. Вычисляем каждый из интегралов:

Первый интеграл, для функции :
∫[4,8.5] 3√(2x+8) dx

Чтобы упростить вычисления, мы можем сделать замену переменной:

2x+8 = t, dx = dt/2

Таким образом, замена переменной приводит нас к следующему интегралу:
∫[16,19] √t dt

Теперь проинтегрируем это выражение:
(2/3)(t^3/2) ∣ [16,19] = (2/3)(19^3/2 - 16^3/2)
≈ 54,06

Второй интеграл, для функции :
∫[4,8.5] 12 dx = 12x ∣ [4,8.5]
= 12(8.5 - 4)
= 12 * 4.5
= 54

8. Теперь найдем итоговую площадь фигуры, вычитая второй интеграл из первого:
54,06 - 54 = 0,06

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямыми y=12 и y=15, а также осью oy, составляет около 0,06 единицы площади.

Этот ответ может быть округлен до определенного числа знаков после запятой, в зависимости от требований задачи.