На заводе кондитерских изделий стоят 20 конвейеров для производства батончиков с нугой и батончиков с нугой и орехами. Если n конвейеров работают на производство батончиков с нугой, то за сутки используется 5n^2кг нуги. Если n конвейеров работают на производство батончиков с нугой и орехами, то за сутки используется 4n^2 кг нуги. Как нужно распределить на эти виды батончиков конвейеры, чтобы расход нуги за сутки был наименьшим? Какое количество нуги будет при этом израсходованно?

Для того чтобы найти решение задачи, мы должны выразить расход нуги за сутки в зависимости от количества конвейеров, работающих на производство батончиков с нугой и с нугой и орехами.

Пусть x - количество конвейеров, работающих на производство батончиков с нугой.
Тогда количество конвейеров, работающих на производство батончиков с нугой и орехами будет равно (20 - x), так как всего на заводе стоит 20 конвейеров.

Согласно условию задачи, расход нуги за сутки при использовании n конвейеров на производство батончиков с нугой составит 5n^2 кг, а при использовании n конвейеров на производство батончиков с нугой и орехами составит 4n^2 кг.

Теперь мы можем выразить расход нуги за сутки в зависимости от x.
Расход нуги при использовании x конвейеров на производство батончиков с нугой будет равен 5x^2 кг.
Расход нуги при использовании (20 - x) конвейеров на производство батончиков с нугой и орехами будет равен 4(20 - x)^2 кг.

Теперь нужно найти значения x, при которых расход нуги за сутки будет наименьшим.

Для этого найдем производные от выражений расхода нуги по x и приравняем их к нулю:
d(5x^2)/dx = 10x
d(4(20 - x)^2)/dx = -8(20 - x)

Приравняем полученные производные к нулю и решим полученное уравнение:
10x = -8(20 - x)
10x = -160 + 8x
2x = -160
x = -80

Ответ x = -80 не подходит в данном случае, так как количество конвейеров не может быть отрицательным. Значит, ошибка в решении.

Попробуем решить задачу иначе:

Так как нам нужно найти минимальный расход нуги за сутки, мы можем воспользоваться методом поиска экстремумов функции.

Расход нуги при использовании x конвейеров на производство батончиков с нугой равен 5x^2 кг.
Расход нуги при использовании (20 - x) конвейеров на производство батончиков с нугой и орехами равен 4(20 - x)^2 кг.

Суммируем оба расхода нуги и получим:
f(x) = 5x^2 + 4(20 - x)^2

Теперь нужно найти экстремумы функции f(x) для заданного интервала значений x.

Для этого найдем первую производную функции f(x):
f'(x) = 10x - 8(20 - x) = 10x - 160 + 8x = 18x - 160

Прировняем первую производную к нулю и найдем x:
18x - 160 = 0
18x = 160
x = 160/18
x = 8.89

Значит, количество конвейеров, работающих на производство батончиков с нугой, должно быть округлено до ближайшего целого числа, то есть равно 9.
Количество конвейеров, работающих на производство батончиков с нугой и орехами, будет равно (20 - 9) = 11.

Теперь найдем значение минимального расхода нуги за сутки, подставив найденные значения в первоначальные выражения:
Расход нуги при использовании 9 конвейеров на производство батончиков с нугой:
5 * (9^2) = 405 кг нуги.

Расход нуги при использовании 11 конвейеров на производство батончиков с нугой и орехами:
4 * (11^2) = 484 кг нуги.

Таким образом, для минимального расхода нуги за сутки нам необходимо использовать 9 конвейеров на производство батончиков с нугой и 11 конвейеров на производство батончиков с нугой и орехами. При этом будет использовано 405 кг нуги.