На столе лежит 90 монет. из них 45 монет лежат орлом вверх, а 45 решкой вверх. разрешается одновременно переворачивать любые четыре монеты. можно ли, повторяя эту операцию добиться того, чтобы все монеты лежали орлом вверх?

Нет.
Если перевернуть 4 монеты - будет чётное число перевёрнутых монет
Если перевернуть 3 монеты в одну сторону и 1 — в другую, то 3-1 = 2 = чётное число перевёрнутых монет.
Если перевернуть 2 монеты в одну сторону, и 2 — в другую, то ничего не изменится.

То есть при любом варианте будет изменено чётное количество монет и сумма таких переворотов тоже даст чётное число, а 45 — нечётное число.