на прямой 3х-у-1 = 0 найти такую ​​точку р, разность расстояний до точек А (4: 1) и В (0; 4) была бы наименьшей

Добрый день!
Для решения данной задачи, нам необходимо найти точку на прямой, для которой разность расстояний до точек A(4, 1) и B(0, 4) будет минимальной.

Шаг 1: Найдем уравнение прямой 3х-у-1 = 0 в общем виде, чтобы определить координаты точки R(x, y):
3x - y - 1 = 0
Заменим "y" на "3x - 1":
y = 3x - 1

Шаг 2: Найдем расстояния от точки R до точек A и B. Формула для расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) на плоскости:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Для расстояния от точки R до точки A:
dA = √((4 - x)^2 + (1 - y)^2)

Для расстояния от точки R до точки B:
dB = √((0 - x)^2 + (4 - y)^2)

Шаг 3: Найдем разность расстояний dA и dB:
D = |dA - dB|

Шаг 4: Найдем координаты точки R, при которых разность расстояний D будет минимальной. Для этого рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: Пусть dA < dB
Тогда разность D = dB - dA = dB - dB = 0
Это значит, что точка R будет совпадать с точкой B(0, 4).

Случай 2: Пусть dA > dB
Тогда разность D = dA - dB = dA - dA = 0
Это значит, что точка R будет совпадать с точкой A(4, 1).

Случай 3: Пусть dA = dB
Тогда разность D = dA - dB = 0
В этом случае точка R будет находиться на срединном перпендикуляре между точками A и B. Найдем уравнение этого перпендикуляра.

Шаг 5: Построим уравнение срединного перпендикуляра между точками A(4, 1) и B(0, 4).
1. Найдем координаты середины отрезка AB:
Медиана x-координат: (4 + 0)/2 = 2
Медиана y-координат: (1 + 4)/2 = 2.5
Середина отрезка AB: M(2, 2.5)

2. Найдем угловой коэффициент прямой AB:
mAB = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (4 - 1)/(0 - 4) = -3/-4 = 3/4

3. Уравнение прямой AB:
Уже известно, что точка M(2, 2.5) принадлежит прямой AB, поэтому мы можем использовать ее координаты для построения уравнения прямой.
Используем формулу: y - y1 = mAB(x - x1), подставим значения y1 = 2.5, x1 = 2 и mAB = 3/4:
y - 2.5 = (3/4)(x - 2)
y - 2.5 = (3/4)x - 3/2
y = (3/4)x - 3/2 + 2.5
y = (3/4)x + 1/2

Шаг 6: Найдем точку пересечения прямой 3x - y - 1 = 0 с прямой y = (3/4)x + 1/2.
Для этого приравняем выражения для y:
3x - y - 1 = (3/4)x + 1/2
Упростим это уравнение:
(3/4)x + (3/4)x = 1 + 1/2 - 1
(6/4)x = 3/2
x = (3/2)/(6/4)
x = (3/2)*(4/6)
x = 2/2
x = 1

Подставим найденное значение x в любое из уравнений, чтобы найти значение y:
3(1) - y - 1 = 0
3 - y - 1 = 0
-y = -2
y = 2

Итак, получили точку R(1, 2) - это точка пересечения прямой 3x - y - 1 = 0 и прямой y = (3/4)x + 1/2.

Итоговый ответ: Точка R(1, 2) является точкой на прямой 3x - y - 1 = 0, для которой разность расстояний до точек A(4, 1) и B(0, 4) будет наименьшей.