На плоскости даны три вектора а=2i, b=3i+3j, c=2i+6j. Разложить вектор c по векторам a и b.

Для разложения вектора c по векторам a и b воспользуемся проекцией вектора c на каждое из этих направлений.

Шаг 1: Найдем проекцию вектора c на вектор a.
Проекция вектора c на вектор a обозначается как proj(a)c и находится по формуле:
proj(a)c = (c • a) / ||a||^2 * a,
где • обозначает скалярное произведение, ||a|| - длина вектора a.

Для начала, найдем скалярное произведение c • a:
c • a = (2*2) + (6*0) = 4

Теперь найдем длину вектора a:
||a|| = sqrt(2^2 + 0^2) = sqrt(4) = 2

Подставим полученные значения в формулу для проекции:
proj(a)c = (4) / (2^2) * (2i) = 4/4 * 2i = 2i

Шаг 2: Найдем проекцию вектора c на вектор b.
Аналогично, проекция вектора c на вектор b обозначается как proj(b)c и находится по формуле:
proj(b)c = (c • b) / ||b||^2 * b,
где • обозначает скалярное произведение, ||b|| - длина вектора b.

Найдем скалярное произведение c • b:
c • b = (2*3) + (6*3) = 6 + 18 = 24

Теперь найдем длину вектора b:
||b|| = sqrt(3^2 + 3^2) = sqrt(18) = 3sqrt(2)

Подставим полученные значения в формулу для проекции:
proj(b)c = (24) / (3sqrt(2))^2 * (3i + 3j) = 24 / (18 * 2) * (3i + 3j) = 4/3 * (i + j)

Шаг 3: Сложим проекции вектора c на векторы a и b, чтобы получить разложение вектора c.
c = proj(a)c + proj(b)c = 2i + 4/3 * (i + j)
c = 2i + 4/3 * i + 4/3 * j
c = (2 + 4/3)i + 4/3 * j

Таким образом, вектор c разложен по векторам a и b следующим образом:
c = (2 + 4/3)i + 4/3 * j