На плоскости даны окружности радиусов 4 и 11, расстояние между центрами которых равно 25. длины их общих касательных равны: 1. внешних 2. внутренних

Добрый день! Рассмотрим ваш вопрос по шагам.

1. Нам даны две окружности радиусов 4 и 11. Обозначим их центры как A и B соответственно, а их радиусы как r1 = 4 и r2 = 11.

2. Также, из условия известно, что расстояние между центрами окружностей равно 25. Обозначим это расстояние как d = 25.

3. Нам необходимо найти длины общих внешних и внутренних касательных этих окружностей.

4. Чтобы найти длину общей внешней касательной, воспользуемся теоремой Пифагора. Длина общей внешней касательной равна разности радиусов окружностей умноженной на косинус угла между линией, соединяющей центры окружностей, и линией, проведенной от одной из окружностей к точке касания.

5. Выразим эту длину общей внешней касательной T1 через данные, которые нам известны. Мы знаем радиусы r1 и r2, а также расстояние между центрами d.

6. Расстояние между центрами окружностей может быть выражено через радиусы и длину общей внешней касательной следующим образом: d^2 = (r1 + r2)^2 - T1^2.

7. Используя данное уравнение, мы можем выразить T1 и подставить в него значения известных радиусов и расстояния между центрами: T1 = sqrt((r1 + r2)^2 - d^2).

8. Теперь, чтобы найти длину общей внутренней касательной T2, воспользуемся тем же принципом. По теореме Пифагора, длина общей внутренней касательной равна сумме радиусов окружностей умноженной на косинус угла между линией, соединяющей центры окружностей, и линией, проведенной от одной из окружностей к точке касания.

9. Выразим эту длину общей внутренней касательной T2 через данные, которые нам известны. Мы знаем радиусы r1 и r2, а также расстояние между центрами d.

10. Опять же, используя данное уравнение, мы можем выразить T2 и подставить в него значения известных радиусов и расстояния между центрами: T2 = sqrt((r2 - r1)^2 - d^2).

11. Теперь, подставляя значения известных данных: r1 = 4, r2 = 11, d = 25, мы можем вычислить длины общих внешних и внутренних касательных.

12. T1 = sqrt((4 + 11)^2 - 25^2) ≈ 15.24.
13. T2 = sqrt((11 - 4)^2 - 25^2) ≈ 7.21.

Таким образом, длины общих внешних и внутренних касательных окружностей равны примерно 15.24 и 7.21 соответственно.