На каждой клетке треугольной доски 5×5 сидит жук (см. рисунок). В некоторый момент все жуки переползают на соседние по стороне клетки этой доски. Докажите, что после этого
найдутся по крайней мере 5 пустых клеток.

Добрый день, ученик! Давайте разберём эту задачу пошагово.

У нас есть треугольная доска размером 5x5 клеток. Изначально в каждой клетке сидит по одному жуку.

Теперь представьте, что все жуки решают переползти на соседние по стороне клетки. Это означает, что каждый жук будет совершать ход именно на соседнюю по стороне клетку (вверх, вниз, вправо или влево).

Заметим, что у каждой клетки есть ровно 3 соседних по стороне клетки (кроме клеток на краях и углах доски). На эти соседние клетки смогут переползти жуки, которые изначально находятся в данной клетке, т.е. будут переползать исключительно внутри треугольника.

Рассмотрим теперь клетки, которые находятся на границе треугольника. Всего таких клеток 9. Каждая из них имеет ровно 2 соседние по стороне клетки, и на эти соседние клетки смогут переползти жуки.

Таким образом, после переползания жуков с границы треугольника на соседние клетки, останутся незанятыми ровно 9 клеток (по одной с каждой его стороны и 5 внутри треугольника).

Изначально внутри треугольника находились 5 жуков, которые смогут переползти на эти свободные клетки внутри треугольника. Таким образом, найдётся по крайней мере 5 пустых клеток.

Таким образом, мы доказали, что после переползания жуков с соседних клеток на каждую клетку треугольной доски 5x5 найдутся по крайней мере 5 пустых клеток.

Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь и задавайте! Я всегда готов помочь вам с пониманием математических задач.