На какие два положительных слагаемых нужно разложить число 75, чтобы произведение одного из них на квадратный корень другого было наибольшим? тема: наибольшее и наименьшее значение функции.

Пусть первое число равно 75 - x, тогда второе x.

Нужно максимизировать f(x) = (75 - x) * √x, где x лежит в отрезке [0, 75]
Не люблю возиться с корнями, буду рассматривать функцию g(x) = (f(x))², очевидно, у неё максимум там же, где и у f(x).

g(x) = (75 - x)² x = x³ - 150x² + 75² x

g'(x) = 3x² - 300x + 75² = 0
x² - 100x + 25 * 75 = 0
Повезло: по теореме Виета сразу угадались корни x = 25, x = 75.

Знаки производной:
[0] -- (+) -- [25] -- (-) -- [75]

В точке x = 25 производная меняет знак с + на -, это точка локального максимума. Понятно, что там же достигается и максимум на отрезке [0, 75].

ответ: надо разложить на 50 и 25.