На доске написаны несколько чисел. известно, что квадрат любого записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

Да это очень оригинальная задача :) И совсем неважно какие тут числа целые вещественные или натуральные,но обязательным фактом являеться наличие отрицательных и положительных чисел одновременно.Сейчас я это поясню. Предположим что все числа положительные.Тогда из них можно выбрать минимальное, но тогда оно меньше всех остальных чисел,а значит его квадрат менее чем произведение любых двух других.То мы пришли к противоречию,значит отрицательные числа могут быть.Также доказывается что все числа не могут быть отрицательны взяв самое большое число :).Ну так вот возьмем среди этого скопления отрицательных и положительных чисел минимальное по модулю. Ясно что его квадрат положителен вне зависимости от его знака. Но тогда если либо оба числа в произведении будут положительны или оба отрицательны,то гарантированно ясно что оно будет более квадрата этого минимального по модулю числа,поэтому для достижения условия во всевозможных произведения кроме данного должно быть одно положительно другое отрицательно.То есть среди остальных чисел только одно может быть отрицательно и только одно положительно :).Тк в противном случае можно было бы составить произведение из двух отрицательных или двух положительных.То есть число чисел не может быть более 3 :) Ну приведем какой нибудь такой пример: 1 5 -3 .Ясна логика :)