На доске написаны числа 2, 4, 8, 16, ..., 2^100. Докажите, что разность между какими-то двумя числами делится на 99.

Давайте рассмотрим первые несколько чисел, чтобы понять, как они связаны друг с другом:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Заметим, что каждое следующее число получается умножением предыдущего на 2. То есть мы каждый раз умножаем на 2 степень двойки, которая равна номеру числа минус 1.

Например, второе число (4) получается умножением первого числа (2) на 2^1, третье число (8) получается умножением второго числа (4) на 2^2, и так далее.

В общем виде, мы можем записать n-е число как 2^(n-1).

Теперь давайте рассмотрим разность между двумя произвольными числами из данной последовательности. Пусть у нас есть два числа a и b, где a < b.

Разность между ними будет:

разность = b - a = 2^(n-1) - 2^(m-1),

где n и m - номера чисел в последовательности.

Мы хотим доказать, что эта разность делится на 99.

Понятно, что алгебраическое равенство не всегда верно. Воспользуемся другим подходом, а именно методом Дирихле.

Чтобы подтвердить, что разность этих чисел делится на 99, нам нужно показать, что разность b - a равна 0 по модулю 99.

По модулю 99 разность будет записана как (2^(n-1) - 2^(m-1)) mod 99.

Мы имеем дело с разностью степеней двойки, и мы знаем, что (a^x - b^x) всегда делится на (a - b), где x - некоторое положительное целое число.

Применим эту теорему к разности степеней двойки. Здесь a = 2, b = 2, и x = n-1.

Таким образом, мы получаем, что (2^(n-1) - 2^(m-1)) делится на (2 - 2), то есть на 0.

Однако, чтобы разность была делителем, мы должны быть уверены, что 2 и 99 являются взаимно простыми числами.

2 и 99 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому они являются взаимно простыми.

Следовательно, по теореме Дирихле, разность между произвольными двумя числами из данной последовательности делится на 99.

Таким образом, мы доказали, что разность между какими-то двумя числами в данной последовательности делится на 99.