На доске написано в строку 2017 целых чисел. а) Докажите, что всегда можно стереть одно из них так, что сумма оставшихся чисел будет
чётной.
б) Верно ли это для 2018 чисел?

Добрый день! Рассмотрим вопрос, который вы задали.

а) Чтобы доказать, что всегда можно стереть одно из 2017 чисел так, что сумма оставшихся чисел будет чётной, рассмотрим две возможные ситуации:

1. Если сумма всех чисел, записанных на доске, уже является чётной, то, очевидно, мы можем стереть любое число, и сумма оставшихся чисел останется чётной.
2. Если сумма всех чисел, записанных на доске, является нечётной, то докажем, что можно стереть ровно одно число так, чтобы сумма оставшихся чисел стала чётной.

Предположим, что после стирания одной цифры сумма оставшихся чисел не станет чётной. То есть, если после стирания выбранного числа сумма оставшихся чисел является нечётной, то она должна быть равна (2k + 1). В таком случае, мы можем сказать, что исходная сумма всех чисел на доске была представлена в виде (2k + 2), где k - целое число.

Теперь возьмём оставшиеся 2016 чисел на доске и рассмотрим их сумму. Если сумма этих чисел является чётной, то мы доказали, что после стирания одного числа сумма оставшихся чисел будет чётной. Если же сумма этих чисел является нечётной, то мы можем рассмотреть такую ситуацию:
- Исходная сумма всех чисел на доске (2k + 2) представляется как сумма суммы оставшихся чисел после стирания одного числа (2k + 1) и числа, которое мы стерли.
- Так как сумма оставшихся чисел после стирания одного числа также является нечётной, мы можем представить её как (2k' + 1), где k' - целое число.
- Таким образом, исходная сумма всех чисел на доске (2k + 2) равна сумме (2k' + 1) и числа, которое мы стерли.

Если мы приведём это уравнение к виду (2k + 2) = (2k' + 1) + x, где x - число, которое мы стерли, то это приведёт нас к взаимоисключающим рассуждениям. Для четного числа x, левая сторона уравнения является четной, а правая - нечетной (так как сумма двух нечетных чисел равна нечетному числу). Для нечетного числа x, левая сторона уравнения является нечетной, а правая - тоже нечетной (так как сумма четного и нечетного чисел равна нечетному числу). Поэтому невозможно выбрать число x так, чтобы оно удовлетворяло уравнению (2k + 2) = (2k' + 1) + x.

Мы пришли к противоречию, что означает, что наше предположение неверно: всегда можно стереть одно из 2017 чисел так, что сумма оставшихся чисел будет чётной.

б) Теперь рассмотрим случай, когда на доске написано 2018 чисел. Применим рассуждение из пункта а) к данной ситуации. Если сумма всех 2018 чисел на доске является чётной, то мы можем стереть любое число, и сумма оставшихся чисел останется чётной. Однако, если сумма всех 2018 чисел на доске является нечётной, то мы не можем доказать, что всегда можно стереть одно число так, чтобы сумма оставшихся чисел стала чётной.

Мы можем рассмотреть такую ситуацию: если сумма всех 2018 чисел на доске является нечетной, представим ее как (2k + 1). После стирания одного числа, сумма оставшихся чисел должна быть четной, то есть представляться как (2k' + 2), где k' - целое число. Однако, если мы приведем это уравнение к виду (2k + 1) = (2k' + 2) + x, где x - число, которое мы стираем, то мы видим, что невозможно выбрать число x так, чтобы оно удовлетворяло этому уравнению. Таким образом, нельзя доказать, что всегда можно стереть одно из 2018 чисел так, чтобы сумма оставшихся чисел стала чётной.

Итак, в ответе на вопрос б) мы можем сказать, что нет, это утверждение не верно для 2018 чисел.

Надеюсь, мой ответ понятен и полон достаточной информации. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.