На доске написано 600 последовательных чисел (среди них могут быть отрицательные ). назовём число хорошим , если сумма остальных 599 чисел ( кроме него ) является квадратом целого числа . какое наибольшее количество хороших чисел может быть среди 600 чисел на доске ?

ответ: 20            Пусть нам даны числа от ( - 199) до 200. Отбрасывая самое большое, получаем нулевую сумму остальных - это первый квадрат. Значит, 200 - хорошее число. Если отбросить 199 вместо 200, сумму остальных увеличим на 1; она станет равна 1 - это второй квадрат. Получили второе хорошее число - 199. Переходя к отбрасыванию 198, 197 и т.д. мы каждый раз сумму остальных увеличиваем на 1. Когда отбросим самое маленькое число - минус 199, получим сумму остальных, равную 399 (проще всего сообразить так: все числа от минус 198 до до плюс 198 "попарно скушают друг друга" (для нуля пары не будет, но ему не очень то и хотелось - он самодостаточен), остаются 199 и 200, которые и дают сумму 399. В результате мы будем получать следующие суммы, являющиеся полными квадратами: 0, 1, 4, 9, 16,..., 361. Поскольку первое равно нулю в квадрате, а последнее равно 19 в квадрате, получаем 20 квадратов. Таким образом, мы получили пример того, что 20 хороших чисел встретиться может.

Остается доказать, что большего количество хороших чисел быть не может. Для этого обратим внимание на то, что при сдвиге нашего массива чисел вправо на 1 все получающиеся суммы увеличиваются на 399. Теперь они будут принимать значения от 399 до  798. Плотность квадратов среди натуральных чисел с ростом чисел уменьшается (расстояние между ними каждый раз возрастает на 2), поэтому хороших чисел станет меньше (их там 9 штук - от 20 в квадрате до 28 в квадрате). Еще меньше квадратов мы будем получать, если массив сдвигать еще правее. В какой-то момент там вообще могут не получаться полные квадраты. Попытка сдвинуть массив не вправо, а влево вообще абсурдна, так как уже после первого сдвига все суммы станут отрицательными (ладно, уговорили, так и быть, одна сумма будет равна нулю).