Можно ли вписать в каждую клетку таблицы размером 4х6 по
натуральному числу так, что все эти числа были различны, каждое было не
больше 30, и любые два числа, стоящие в клетках с общей стороной, имели
общий делитель, больший единицы? Если да, то как? Если нет, то почему?

Нельзя.

Пошаговое объяснение:

1) Понятно, что нельзя ставить простые числа, большие 15, т.к. они взаимно просты с любым из ост. чисел.

2) Также нельзя ставить единицу, т.к. не имеет делителей больше единицы.

3) Наконец, 11 и 13 нельзя ставить, т.к. имеют только 1 делитель, в то время как имеют хотя бы 2 общие стороны с другими числами.

4) Тогда, мы можем ставить 30(чисел) - 4(простых числа > 15: 17, 19, 23, 29 ) - 1(единица) - 2(11 и 13) = 23 числа.

5) Т.к. в таблице 24 места, нельзя использовать одинаковые числа и всего чисел, которые можно поставить - 23, то ответ - нельзя.