Можно ли придумать такие натуральные числа a, b, c, что при любом выборе знаков в выражении ±ax^2±bx±c, полученный квадратный трёхчлен имел целые корни?

Да, можно придумать такие натуральные числа a, b, c, чтобы при любом выборе знаков в выражении ±ax^2±bx±c, полученный квадратный трёхчлен имел целые корни.

Рассмотрим следующий случай:

Возьмем a = 1, b = 5, c = 6.

Тогда полученное выражение имеет вид ±x^2 ±5x ±6.

Подставим это выражение в уравнение квадратного трехчлена и решим его, чтобы найти корни:

x^2 + 5x + 6 = 0.

Теперь мы можем применить метод факторизации или квадратного корня для решения этого уравнения.

Метод факторизации:

Для факторизации уравнения, нам нужно найти два числа, сумма и произведение которых равны соответственно -5 и 6. Эти числа -2 и -3 (-2 * -3 = 6, -2 + -3 = -5).

Таким образом, уравнение может быть факторизовано следующим образом:

(x + 2)(x + 3) = 0.

Из этого уравнения мы можем получить два возможных значения для x:

x + 2 = 0, откуда x = -2.

x + 3 = 0, откуда x = -3.

Таким образом, у нас есть два целых корня для данного квадратного трехчлена, а именно x = -2 и x = -3.

Таким образом, любой выбор знаков в выражении ±x^2 ±5x ±6 приведет к целым корням.

Обоснование:
Корни квадратного трехчлена зависят только от его коэффициентов a, b и c. Для того чтобы у трехчлена были целые корни, дискриминант, вычисляемый по формуле D = b^2 - 4ac, должен быть квадратом целого числа.

В данном случае для квадратного трехчлена ±x^2 ±5x ±6 дискриминант равен 5^2 - 4*1*6 = 25 - 24 = 1, что является квадратом целого числа.

Таким образом, все значения квадратного трехчлена ±x^2 ±5x ±6 для данных натуральных чисел a, b и c будут иметь целые корни.

Пошаговое решение:
1. Задаем значения для a, b и c.
2. Подставляем значения в выражение ±ax^2 ±bx ±c.
3. Решаем полученное уравнение квадратного трехчлена, используя метод факторизации или квадратного корня.
4. Находим корни уравнения.
5. Проверяем, что найденные корни являются целыми числами.
6. Проверяем, что дискриминант является квадратом целого числа.
7. Выводим, что при данных значениях a, b и c все значения квадратного трехчлена имеют целые корни.