можно ли подобрать такие четыре различных натуральных числа, чтобы сумма любых двух из них была степенью 3.

Пусть a+b,  a+c и b+c являются степенями тройки.

Тогда (a+b)+(a+c)=2a+(b+c); слева стоит четное число (степени тройки являются нечетными числами, сумма двух нечетных чисел является четным числом), а справа стоит нечетное число как сумма четного и нечетного. Это противоречие показывает, что даже три натуральных числа  нельзя подобрать так, чтобы сумма любых двух из них была степенью 3 (а по сути нельзя подобрать так, чтобы сумма любых двух из них была нечетным числом).