Можно ли найти такую натуральную степень числа 3, которая оканчивается на …0001?

вообще то это можно доказать для любого конечного число нулей, 01 001 0001 итд

то есть нам надо найти что существует число n∈N , при котором существует некая степень k, при которой 3^k - 1 делится на 10^n (в данном случае на 10000)

Смотрим на три в степени 3^1 3^2 3^3 ...таких чисел бесконечно много

Рассмотрим набор из 10000 степеней тройки и рассмотрим остатки от деления на 10000(в общем случае на 10^n)

Нацело ни одно из чисел на 10000 не делится но по принципу Дирихле существуют как минимум 2 числа имеющие одинаковые остатки

обозначим эти числа m > n, тогда

раз они имеют одинаковые остатки при делении на 10000 то разность их делится на 10000

3^m - 3^n = 3^n*(3^(m-n) - 1)

3^n не делится нацело на 10000

значит нацело целится 3^(m-n) - 1

и значит число 3^(m-n) оканчивается на 0001

Да такое число 10000 = 10^4 (в общем случае также доказывается)