1. Математика
  2. Может ли число вида 1999^n-1

Может ли число вида 1999^n-1 заканчиваться на 1999 нулей? ответ обязательно обосновать

mitaikooo mitaikooo    3   18.06.2019 07:30    1

Ответы
alenagerasimov1 alenagerasimov1  14.07.2020 23:30
Может.

Подготовительный факт: рассмотрим бином Ньютона (a, b - целые числа)
(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}
Преобразуем:
(a+b)^n=C_n^0b^n+C_n^1ab^{n-1}+\sum\limits_{k=2}^{n}C_n^ka^kb^{n-k}=\\=b^n+nab^{n-1}+a^2\sum\limits_{k=2}^{n}C_n^ka^{k-2}b^{n-k}=a^2\cdot A+nab^{n-1}+b^n
"А" в последнем равенстве тоже целое.

Теперь можно приступить к решению. Рассмотрим последовательность x_n=1999^{10^n}
x_1=(2000-1)^{10}=2000^2\cdot a_1-10\cdot2000+1=10^4\cdot b_1+1\\
x_2=(10^4\cdot b_1+1)^{10}=10^8\cdot a_2+10^5\cdot b_1+1=10^5\cdot b_2+1\\
x_3=(10^5\cdot b_2+1)^{10}=10^{10}\cdot a_3+10^6\cdot b_2+1=10^6\cdot b_3+1
Все числа ai, bi - целые, явный вид которых не важен.
И вообще, если
x_k=10^{k+3}b_k+1\\
x_{k+1}=10^{2k+6}a_{k+1}+10^{k+4}b_k+1=10^{k+4}\cdot b_{k+1}+1

Итак, 1999^(10^k) - 1 кончается не менее, чем на (k + 3) нуля. Тогда, выбрав k = 1996, получаем желаемое.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
12АлИк34 12АлИк34  25.09.2019 02:30
Впервом ящике в 5 раз больше мандаринов, чем во втором. когда из первого взяли 25 кг мондаринов,а во второй положили еще 15 кг ,то в обеих ящиках стало поровну. сколько килограммов...
Rus1411 Rus1411  25.09.2019 02:30
Решить уравнение 170+(х-380): 4=175...
buster43 buster43  25.09.2019 02:30
Даны числа: 674, 689, 698, 869, 896, 986, 968. выпиши те из них, сотни которых делятся на 6, а десятки не делятся на 6 без остатка....
j89026190695 j89026190695  25.09.2019 02:30
Решить а-24мм с-72%от а в-60%от в v?...
Ксения26941479 Ксения26941479  25.09.2019 02:30
Ужас как подробным решением 1) три четвертых от числа 8 2)одна четвертая от числа одна четвертая 3) две пятых от числа 10 4)одна третья от числа шесть седьмых 5)одна пятая от числа...
rekrifcm rekrifcm  25.09.2019 02:30
Из чайного листа после сушки получается 4,2% чая. сколько получится чая из 225 кг чайного листа?...
Duna383292928282 Duna383292928282  25.09.2019 02:30
Для выполнения 3/4 требуется 2часа времени. а)2/3 ; б)2 2/3 ; в) всего ?...
ilyhan787228 ilyhan787228  25.09.2019 02:30
Берёзами засажено 0,3 всей рощи. оставшиеся 14 соток засажены елями. какова площадь всей рощи?...
Isei Isei  25.09.2019 02:30
Найти площать поверхности куба.если периметр грани куба равен 32 см...
Foxred2281 Foxred2281  25.09.2019 02:30
Дан прямоугольник размером 24 на 42 клетки. красных - 574, желтых - 118, зеленых - 198, белых - 56, а остальные - черные. какую часть прямоугольника составляют красные и желтые...

Популярные вопросы