Мерлин задумал прокопать подземный ход длиной 196 метров от своего дома до королевского замка. Бригада гномов берет 70 золотых за 1-й метр подземного хода и за каждый следующий метр на 14 золотых больше, чем за предыдущий. Также гномы требуют: по окончании работ выставить угощение для каждого гнома на сумму 80 золотых и выплатить каждому по 920 золотых премиальных. Бригада гоблинов золотых за 1-й метр подземного хода и на 15 золотых больше за каждый следующий метр и ничего больше. Какое наибольшее количество гномов может быть в бригаде, чтобы Мерлину было выгоднее иметь дело с ними, а не с гоблинами?

Для решения этой задачи мы должны сравнить стоимость работ бригады гномов и бригады гоблинов.

Для начала, нам нужно вычислить стоимость работ каждой из бригад за прокопанную длину хода.

Для бригады гномов:
- Стоимость первого метра: 70 золотых
- Стоимость второго метра: 70 + 14 = 84 золотых
- Стоимость третьего метра: 84 + 14 = 98 золотых
- И так далее...

Мы замечаем закономерность - каждый следующий метр стоит на 14 золотых больше предыдущего.
Таким образом, стоимость i-го метра подземного хода для бригады гномов равна: 70 + (i-1) * 14.

Для бригады гоблинов:
- Стоимость первого метра: 50 золотых
- Стоимость второго метра: 50 + 15 = 65 золотых
- Стоимость третьего метра: 65 + 15 = 80 золотых
- И так далее...

Мы замечаем закономерность - каждый следующий метр стоит на 15 золотых больше предыдущего.
Таким образом, стоимость i-го метра подземного хода для бригады гоблинов равна: 50 + (i-1) * 15.

Теперь мы должны определить, сколько метров хода прокопала бригада гномов и сколько метров хода прокопала бригада гоблинов, чтобы сравнить их стоимости.

Предположим, что бригада гномов прокопала x метров хода, а бригада гоблинов - y метров хода.
Тогда стоимость работ бригады гномов будет равна:
Сумма стоимостей всех прокопанных метров + стоимость угощения для гномов + премиальные, общая стоимость:
(70 + (0) * 14) + (70 + (1) * 14) + (70 + (2) * 14) + ... + (70 + (x-1) * 14) + 80 + 920 =
= [70 * x + 14 * ((0 + (x-1)) * x / 2)] + 80 + 920 =
= 70x + 7 * (x^2 - x) + 80 + 920 =
= 7x^2 + 63x + 1000.

Аналогично, стоимость работ бригады гоблинов будет равна:
(50 + (0) * 15) + (50 + (1) * 15) + (50 + (2) * 15) + ... + (50 + (y-1) * 15) =
= [50 * y + 15 * ((0 + (y-1)) * y / 2)] =
= 50y + 7.5 * (y^2 - y) =
= 7.5y^2 + 42.5y.

Теперь мы можем сравнить две функции стоимости и найти такое значение x (количество метров прокопанных гномами), при котором стоимость бригады гномов будет меньше стоимости бригады гоблинов.

7x^2 + 63x + 1000 < 7.5y^2 + 42.5y.

Ищем такие целые значения x и y, при которых неравенство выполнено.

Подставим x = 1:
7 + 63 + 1000 < 7.5y^2 + 42.5y,
1070 < 7.5y^2 + 42.5y,
7.5y^2 + 42.5y > 1070,
y^2 + 5.67y > 142.67.

Возможные целые значения y: 12, 13, 14, ...

Подставляем y = 12:
12^2 + 5.67*12 > 142.67,
144 + 68.04 > 142.67,
212.04 > 142.67.

Теперь подставляем найденное y = 12 в неравенство и находим область значений x:
7x^2 + 63x + 1000 < 7*12^2 + 63*12 + 1000,
7x^2 + 63x + 1000 < 1000 + 756 + 1000,
7x^2 + 63x < 2756,
x^2 + 9x < 394.

Ищем такие целые значения x, при которых неравенство выполнено.

Подставляем x = 10:
10^2 + 9*10 < 394,
100 + 90 = 190 < 394,
190 < 394.

Таким образом, наибольшее количество гномов в бригаде, чтобы Мерлину было выгоднее иметь дело с ними, а не с гоблинами, составляет 10 человек.