Квадрат целого числа имеет вид (оканчивается цифрами 0 и 9). докажите, что третья справа цифра – четная.

Квадрат нашего числа можно записать в виде N² = 100k+9, где k - натуральное. Нам нужно доказать, что последняя цифра в числе k - четная, то есть k - четное число. Преобразуем



Числа N-3 и N+3 имеют одинаковые остатки при делении на 6. Рассматривая возможные остатки от деления на 6 (0...5) и пользуясь тем, что произведение (N-3)(N+3) будет иметь тот же остаток, что и квадрат остатка сомножителей, мы получим возможные варианты
Остаток --- остаток квадрата остатка
0 --- 0
1 --- 1
2 --- 4
3 --- 3
4 --- 4
5 --- 1

Число 100k может давать следующие остатки при делении на 6.
k --- Остаток
1 --- 4
2 --- 2
3 --- 0
4 --- 4
5 --- 2
6 --- 0
и так далее

Сопоставляя две таблицы, мы понимаем, что k = 1, 4, 7..., то есть k=3m+1, где m - натуральное (100*0+9 = 109 - не квадрат). Нам осталось доказать, что m не может быть четным.

Итак



Число N^2 может иметь следующие остатки при делении на 8
0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1 и так далее

Число 109 дает 5 в остатке при делении на 8, число 300 - дает 4
Значит остатки от деления 300m+109 на 8 будут такие (m = 1, 2, 3...)
1, 5, 1, 5, 1 и так далее

Остаток 5 невозможен (см остатки N^2 при делении на 8), значит отсюда мы понимаем, что m обязано быть нечетным (тогда остаток будет 1).

Значит m - нечетно, 3m+1 = k - четно, и третья справа цифра тоже четна.