Кожна із трьох сторін тріпеції у 2 рази менша від четвертої сторони. знайти кут між діагоналями трапеції.

Каждая из трёх сторон трапеции в 2 раза меньше четвёртой стороны. Найти угол между диагоналями трапеции. 

------

Обозначим трапецию АВСD. 

По условию АВ=ВС=СD=0.5AD

Опустим высоты ВН и СТ. Тогда НТ=ВС=а

АН=ТD=a/2, т.к. трапеция равнобедренная. 

В ∆ АВН катет АН=0,5 гипотенузы АВ. 

cos∠BAH=AH:AB=0,5a:a=1/2. Это косинус 60°⇒

∠ВАН=60°

Треугольники АВС и ВСD  равнобедренные, значит, их углы при основаниях АС и ВD равны. 

Но ∠ВСА=∠САD и ∠CDВ=∠BDA как накрестлежащие. 

Значит, BD и АС - биссектрисы. ⇒

∠ОАD=∠ODA=30°

Внешний угол треугольника ВОА при вершине О треугольника  АОD равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. ⇒

∠ВОА=30°+30°=60°