Костя написал на доске несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится нацело на 7 и оканчивается на 8. Может ли их сумма равняться 644? Может ли их среднее арифметическое равняться 200? Какое наибольшее кол-во чисел может быть вписано на доску, если их среднее арифметическое является чётным натуральным числом и не превышает 500?
, объясните, как это делать.

Для объяснения этого вопроса, давайте рассмотрим каждое его утверждение по отдельности.

Первое утверждение: Может ли сумма этих чисел равняться 644?

Для ответа на этот вопрос, нужно знать, какиe натуральные числа могут быть вписаны на доску.

Мы знаем, что числа должны быть кратны 7 и оканчиваться на 8. Давайте перечислим такие числа: 78, 88, 98, 108, 118, 128, 138, 148, 158, ...

Мы видим, что каждое следующее число отличается от предыдущего на 10. То есть, мы можем записывать числа в виде a(n) = 78 + (n - 1) * 10, где "n" - порядковый номер числа, начиная с 1.

Теперь давайте посмотрим, можно ли составить сумму 644 из этих чисел.

Пусть у нас будет "k" чисел, записанных на доске. Тогда сумма этих чисел может быть записана как 78 + 88 + 98 + ... + a(k) = 644.

Мы можем заметить, что эта последовательность чисел является арифметической прогрессией с первым членом 78 и разностью 10. Тогда сумма арифметической прогрессии равна (k/2) * (2 * 78 + (k - 1) * 10).

Подставим это в уравнение: (k/2) * (2 * 78 + (k - 1) * 10) = 644.

Упростим это уравнение: k * (2 * 78 + (k - 1) * 10) = 1288.

Раскроем скобки: 2 * 78k + 10k^2 - 10k = 1288.

Получим квадратное уравнение: 10k^2 + (156 - 10)k - 1288 = 0.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = (156 - 10)^2 - 4 * 10 * (-1288).

Вычислим: D = 146^2 + 4 * 10 * 1288.

D = 21316 + 51520.

D = 72836.

Так как дискриминант положительный, то у нас есть два корня: k = (-156 + sqrt(D)) / (2 * 10) и k = (-156 - sqrt(D)) / (2 * 10).

Вычислим значения: k = (156 + sqrt(72836)) / 20 и k = (156 - sqrt(72836)) / 20.

k ≈ 6.8 и k ≈ -0.3.

Количество чисел не может быть дробным или отрицательным, поэтому сумма этих чисел не может равняться 644.

Ответ на первый вопрос: Сумма этих чисел не может быть равна 644.

Второе утверждение: Может ли их среднее арифметическое равняться 200?

Давайте решим это уравнение: (78 + 88 + 98 + ... + a(k)) / k = 200.

Снова используем формулу суммы арифметической прогрессии: [(k/2) * (2 * 78 + (k - 1) * 10)] / k = 200.

Упростим это уравнение: [k * (2 * 78 + (k - 1) * 10)] / 2 * k = 200.

Упростим еще больше: 2 * 78 + (k - 1) * 10 = 400.

Уберем скобку: 156 + 10k - 10 = 400.

Выполним операции: 10k + 146 = 400.

Вычтем 146 с обеих сторон: 10k = 400 - 146.

Выполним операции: 10k = 254.

Разделим на 10: k = 254 / 10.

Вычислим: k = 25.4.

Опять же, количество чисел не может быть дробным, поэтому среднее арифметическое этих чисел не может равняться 200.

Ответ на второй вопрос: Среднее арифметическое этих чисел не может быть равно 200.

Третье утверждение: Какое наибольшее количество чисел может быть вписано на доску, если их среднее арифметическое является четным натуральным числом и не превышает 500?

Мы знаем, что среднее арифметическое является четным натуральным числом. Это значит, что сумма всех чисел должна быть кратна 2.

Максимальное значение среднего арифметического, при котором оно не превышает 500, равно 500. Тогда максимальная сумма всех чисел равна 2 * 500 = 1000.

Для нахождения максимального количества чисел, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии: (k/2) * (2 * 78 + (k - 1) * 10) ≤ 1000.

Подставим значения: (k/2) * (156 + (k - 1) * 10) ≤ 1000.

Упростим: k * (156 + (k - 1) * 10) ≤ 2000.

Уберем скобки: 156k + 10k^2 - 10k ≤ 2000.

Приведем подобные члены: 10k^2 + 146k ≤ 2000.

Приведем квадратное уравнение к стандартной форме: 10k^2 + 146k - 2000 ≤ 0.

Мы можем решить это уравнение, используя график или дискриминант.

D = 146^2 - 4 * 10 * (-2000).

Вычислим: D = 21316 + 80000.

D = 101316.

Корни этого уравнения: k = (-146 + sqrt(101316)) / (2 * 10) и k = (-146 - sqrt(101316)) / (2 * 10).

Вычислим значения: k ≈ 14.03 и k ≈ -18.03.

Количество чисел не может быть дробным или отрицательным, поэтому максимальное количество чисел, которое может быть вписано на доску, равно 14.

Ответ на третий вопрос: Максимальное количество чисел, которые могут быть вписаны на доску, равно 14.

Таким образом, сумма этих чисел не может равняться 644, их среднее арифметическое не может равняться 200, а максимальное количество чисел, которые могут быть вписаны на доску, равно 14.