Контрольная работа по теме «Преобразование графиков тригонометрических функций»

1. Постройте график функции

1. у = sin Зх.

2. у = 2 tq x.

3. у = 2 cos 2x.

2. По графикам из задания 1 найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции; б) нули функции; в) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения;

3. Исследуйте функции из задания 1 на четность, и определите наименьший их период

1. Постройка графиков функций:

a) Функция у = sin Зх.
Для построения графика данной функции, мы знаем, что амплитуда синусоиды равна 1, период равен 2π (поскольку 2π/З = 2π), а фазовый сдвиг равен нулю.

Шаги для построения графика:
- На оси у отмечаем максимальное значение амплитуды (1) и минимальное значение амплитуды (-1)
- Определяем точки, где значение функции равно 0 (нули функции). В данном случае, это x = 0, x = π, x = 2π, и т.д.
- Размещаем эти точки на графике функции и соединяем их с помощью гладкой кривой
- Повторяем те же действия для остальных периодов (2π, 4π, и т.д.)

b) Функция у = 2 tq x.
Для графика функции тангенса, амплитуда равна 2, период равен π (так как 2π/З = π), и нет фазового сдвига.

Шаги для построения графика:
- Аналогично предыдущей функции, на оси у отмечаем максимальное и минимальное значение амплитуды (2 и -2 соответственно)
- Определяем точки, где значение функции равно 0 (нули функции). В данном случае, это x = 0, x = π, x = 2π, и т.д.
- Располагаем эти точки на графике и соединяем их линиями

c) Функция у = 2 cos 2x.
Для графика функции косинуса, амплитуда равна 2 и фазовый сдвиг равен 0, период равен π/2 (так как 2π/4 = π/2).

Шаги для построения графика:
- Аналогично предыдущим функциям, на оси у отмечаем максимальное и минимальное значение амплитуды (2 и -2 соответственно)
- Определяем точки, где значение функции равно 0 (нули функции). В данном случае, эти точки находятся в x = π/4, x = 3π/4, x = 5π/4 и т.д.
- Располагаем эти точки на графике и соединяем их линиями

2. Анализ графиков:

а) Наименьшее и наибольшее значения функции:
- Для функции у = sin Зх, наименьшее значение функции равно -1, а наибольшее значение функции равно 1. Это соответствует точкам на графике, где синусоида достигает минимума и максимума.
- Для функции у = 2 tq x, наименьшее значение функции равно -2, а наибольшее значение функции равно 2. Это значения амплитуды тангенсоиды.
- Для функции у = 2 cos 2x, амплитуда равна 2, поэтому наименьшее значение функции равно -2, а наибольшее значение функции также равно 2.

б) Нули функции:
- Нули функции соответствуют точкам, где график пересекает ось x. Для всех трех функций их значения находятся в таких точках, как x = 0, x = π, x = 2π, и т.д.

в) Значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения:
- Для функции у = sin Зх, функция принимает отрицательные значения в диапазонах между точками нуля.
- Для функций у = 2 tq x и у = 2 cos 2x, данные функции не принимают отрицательные значения, так как их амплитуда всегда положительна.

3. Исследование функций на четность и определение наименьшего периода:
- Функция у = sin Зх является нечетной функцией, так как sin (-x) = -sin(x). Ее наименьший период равен 2π.
- Функция у = 2 tq x является нечетной функцией, так как tan (-x) = -tan(x). Ее наименьший период равен π.
- Функция у = 2 cos 2x является четной функцией, так как cos (-x) = cos(x). Ее наименьший период равен π/2.