Контрольная работа по теме
«Описанные и вписанные окружности»

1. Центр вписанной в треугольник окружно-
сти является точкоіі пересечения ...
1) медиан;
2) биссектрис;
3) высот;
4) серединых перпендикуляров к сторонам
треугольника.

2. угол BAC - 30°, угол DBC = 70°. Найдите угол BCD.

3. В параллелограмм с периметром 8✓3
и углом 150° вписана окружность. Найдите се радиус.

4. Найдите площадь прямоугольного тре-
угольника, если радиус вписанной в него окруж-
ности r = 2 см, а радиус описанной окружности
R=5 см.

5. Дана прямоугольная трапеция, меньшее
основание которой равно 6 см, а радиус вписан-
ной в нее окружности - 4 см. Найдите площадь
трапеции.
​

1) Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника. Биссектриса треугольника - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону на две равные части по длине.

Шаги решения:
- Найдем точку пересечения биссектрис треугольника
- Эта точка будет являться центром вписанной окружности

2) Для нахождения угла BCD воспользуемся теоремой синусов.
В треугольнике BCD известны два угла: угол BAC = 30° и угол DBC = 70°.
Мы хотим найти угол BCD.

Шаги решения:
- Используем теорему синусов: синус угла BCD равен отношению противолежащей стороны (BC) к гипотенузе (BD).
- Используем известные значения углов и сторон: синус угла BCD = sin(70°) / sin(180° - (70° + 30°)).
- Вычисляем значение синуса и находим угол BCD, используя инверсию синуса.

3) Для нахождения радиуса вписанной окружности в параллелограмме воспользуемся свойством радиуса, параллельного сторонам прямоугольника и равному половине его диагонали.

Шаги решения:
- Находим длину одной стороны параллелограмма, зная его периметр и количество сторон.
- Вычисляем длину диагонали параллелограмма, используя теорему Пифагора.
- Делим длину диагонали на 2, чтобы найти радиус вписанной окружности.

4) Для нахождения площади прямоугольного треугольника воспользуемся свойством, что произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр треугольника равно площади треугольника.

Шаги решения:
- Найдем полупериметр треугольника, зная радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности.
- Пользуясь формулой площади треугольника через полупериметр и радиус, найдем площадь треугольника.

5) Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой площади трапеции через высоту и сумму оснований.

Шаги решения:
- Используем формулу для нахождения высоты трапеции через радиус вписанной окружности и разность половин суммы оснований.
- Пользуясь формулой площади трапеции через высоту и сумму оснований, найдем площадь трапеции.