Контрольная работа по теме:
«Координаты и векторы в пространстве»
Вариант 1
1.Даны точки: А(-3; 2; -4) и В(5; -4; 6). Найдите
1) длину отрезка АВ;
2) координаты середины отрезка АВ;
2.Даны точки: А(-2; 5; -6), В(7; -5; 1) и С(3; -7; 4). Найдите
1) координаты векторов и ;
2) модуль вектора ;
3) координаты вектора ;
4) косинус угла между векторами и .
3.Определите, при каком значении переменной х вектора (х; -4; 3) и (-15; 12; -9)
а) перпендикулярны;
б) коллинеарны?
4.Укажите вектор параллельного переноса, при котором точка А(2; -4; 5) переходит в точку В, симметричную точке А относительно плоскости (Охz). Запишите формулы этого параллельного переноса.

Контрольная работа по теме:
«Координаты и векторы в пространстве»
Вариант 2
1.Даны точки: А(3; -2; -3) и В(-5; 4; -9). Найдите
1) длину отрезка АВ;
2) координаты середины отрезка АВ;
2.Даны точки: F(2; -3; 0), G(7; -5; -4) и N(-3; -1; -4). Найдите
1) координаты векторов и ;
2) модуль вектора ;
3) координаты вектора ;
4) косинус угла между векторами и .
3.Определите, при каком значении переменной х вектора (2; -1; 8) и (-10; х; -40)
а) перпендикулярны;
б) коллинеарны?
4.Укажите вектор параллельного переноса, при котором точка А(-2; 4; -8) переходит в точку В, симметричную точке А относительно плоскости (Оху). Запишите формулы этого параллельного переноса

1)а

2(б

3)б

4)а

ьвьаьаььабв

ответ жду с сестрой у вас на складе

1) Для нахождения длины отрезка АВ можно использовать формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек А и В соответственно.

Для точек А(-3; 2; -4) и В(5; -4; 6):

d = √((5 - (-3))^2 + (-4 - 2)^2 + (6 - (-4))^2)
= √(8^2 + (-6)^2 + 10^2)
= √(64 + 36 + 100)
= √200
≈ 14.14

Таким образом, длина отрезка АВ примерно равна 14.14.

2) Для нахождения координат середины отрезка АВ можно использовать формулу средней точки:

(x, y, z) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2),

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек А и В соответственно.

Для точек А(-3; 2; -4) и В(5; -4; 6):

(x, y, z) = ((-3 + 5)/2, (2 + (-4))/2, (-4 + 6)/2)
= (2/2, -2/2, 2/2)
= (1, -1, 1)

Таким образом, координаты середины отрезка АВ равны (1, -1, 1).

3) Для нахождения координат вектора AB можно вычислить разность между соответствующими координатами точек:

(x, y, z) = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1),

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек А и В соответственно.

Для точек А(-2; 5; -6) и В(7; -5; 1):

(x, y, z) = (7 - (-2), -5 - 5, 1 - (-6))
= (9, -10, 7)

Таким образом, координаты вектора AB равны (9, -10, 7).

4) Для нахождения модуля вектора AB можно использовать формулу длины вектора в пространстве:

||v|| = √(x^2 + y^2 + z^2),

где (x, y, z) - координаты вектора AB.

Для вектора AB с координатами (9, -10, 7):

||v|| = √(9^2 + (-10)^2 + 7^2)
= √(81 + 100 + 49)
= √230
≈ 15.13

Таким образом, модуль вектора AB примерно равен 15.13.

5) Для нахождения координат вектора AC можно вычислить разность между соответствующими координатами точек:

(x, y, z) = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1),

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек А и С соответственно.

Для точек А(-2; 5; -6) и С(3; -7; 4):

(x, y, z) = (3 - (-2), -7 - 5, 4 - (-6))
= (5, -12, 10)

Таким образом, координаты вектора AC равны (5, -12, 10).

6) Для нахождения косинуса угла между векторами AB и AC можно использовать формулу скалярного произведения векторов в пространстве:

cos(θ) = (AB · AC) / (||AB|| * ||AC||),

где AB и AC - векторы, ||AB|| и ||AC|| - их модули.

Для векторов AB с координатами (9, -10, 7) и AC с координатами (5, -12, 10):

cos(θ) = ((9 * 5) + (-10 * (-12)) + (7 * 10)) / (15.13 * √(5^2 + (-12)^2 + 10^2))
= (45 + 120 + 70) / (15.13 * √(25 + 144 + 100))
= 235 / (15.13 * √269)
≈ 0.872

Таким образом, косинус угла между векторами AB и AC примерно равен 0.872.

7) Для определения перпендикулярности векторов можно использовать условие равенства их скалярного произведения нулю:

(х1 * х2) + (у1 * у2) + (z1 * z2) = 0.

Для векторов (х; -4; 3) и (-15; 12; -9):

(х * -15) + (-4 * 12) + (3 * -9) = 0.

-15х - 48 - 27 = 0.

-15х = 75.

х = -5.

При х = -5 вектора (х; -4; 3) и (-15; 12; -9) перпендикулярны.

8) Для определения коллинеарности векторов можно использовать условие равенства отношения их координат:

х1 / х2 = у1 / у2 = z1 / z2.

Для векторов (х; -4; 3) и (-15; 12; -9):

х / -15 = -4 / 12 = 3 / -9.

Решая данное уравнение, получим:

х = -5.

Таким образом, при х = -5 вектора (х; -4; 3) и (-15; 12; -9) коллинеарны.

9) Для нахождения вектора параллельного переноса, при котором точка А(2; -4; 5) переходит в точку В, симметричную точке А относительно плоскости (Охz), нужно заменить значение координаты y на противоположное:

В(2; 4; 5).

Таким образом, чтобы точка А(2; -4; 5) перешла в точку В(2; 4; 5), необходимо применить вектор параллельного переноса (0, 8, 0). Формулы переноса можно записать следующим образом:

x' = x + 0,
y' = y + 8,
z' = z + 0,

где x', y', z' - новые координаты точки после переноса.