класс!

Исследуйте функцию f(x) =x^3-3x и постройте её график

по примеру:

1.Область определения D(y), D(f)

2.Область значений E(y)

3.Четность/нечётность

4.Нули функции

5.Промежутки знакопостоянства

6.Экстремумы

7.Промежутки монотонности

Привет! Я с удовольствием помогу тебе исследовать функцию f(x) = x^3 - 3x и построить её график. Давай разберемся по порядку в каждом пункте вопроса. 1. Область определения D(y), D(f): Область определения функции - это множество всех значений, которые может принимать переменная x. Уравнение x^3 - 3x не содержит никаких ограничений, поэтому область определения функции f(x) является множеством всех действительных чисел, то есть D(y) = (-∞, +∞). 2. Область значений E(y): Область значений функции - это множество всех значений, которые может принимать переменная y. Подставим x = 0, чтобы найти минимальное значение функции: f(0) = 0^3 - 3*0 = 0. Это означает, что функция может принимать значения от 0 и больше, так как она монотонно возрастающая. Таким образом, область значений функции f(x) является множеством всех неотрицательных действительных чисел, то есть E(y) = [0, +∞). 3. Четность/нечётность: Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, нужно проверить, сохраняется ли она свою форму при замене x на -x. Выполним эту замену: f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x. - Если f(-x) = f(x), то функция является четной (симметричной относительно оси y). - Если f(-x) = -f(x), то функция является нечетной (симметричной относительно начала координат). Подставим значения и проверим: f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x). Таким образом, функция f(x) является нечетной. 4. Нули функции: Нулями функции являются значения x, при которых f(x) = 0. Решим уравнение f(x) = 0: x^3 - 3x = 0. Факторизуем это уравнение: x(x^2 - 3) = 0. Получаем два решения: x = 0 и x^2 - 3 = 0. Решим второе уравнение: x^2 = 3. Извлечем корни: x = ±√3. Таким образом, нулями функции f(x) являются x = 0 и x = ±√3. 5. Промежутки знакопостоянства: Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции f(x), нужно решить неравенство f(x) > 0 или f(x) < 0. f(x) = x^3 - 3x. f(x) > 0: x^3 - 3x > 0. Проанализируем знаки на интервалах между нулями функции и на самостоятельных промежутках. Для этого построим таблицу знаков исходного выражения в интервалах между нулями и на промежутках. Интервал | (-∞, -√3) |-√3 | (-√3, 0) |0 | (0, √3) |√3 | (√3, +∞) f(x) | - | + | - | 0 | + | + | + Исходя из таблицы знаков, функция f(x) > 0 на промежутках (-∞, -√3) и (0, +∞), а f(x) < 0 на промежутке (-√3, 0). 6. Экстремумы: Экстремумы функции - это значения x, при которых функция достигает своих минимальных или максимальных значений. Чтобы найти экстремумы, найдем точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Производная функции f(x) равна f'(x) = 3x^2 - 3. Найдем значения x, при которых f'(x) = 0: 3x^2 - 3 = 0. Факторизуем: 3(x^2 - 1) = 0. Получаем два решения: x^2 - 1 = 0. Решим второе уравнение: x^2 = 1. Извлечем корни: x = ±1. Таким образом, точками экстремума функции f(x) являются x = 1 и x = -1. 7. Промежутки монотонности: Чтобы найти промежутки монотонности функции f(x), нужно проанализировать знаки первой производной функции. f'(x) = 3x^2 - 3. Проанализируем знаки первой производной на интервалах между экстремумами и на самостоятельных промежутках. Построим таблицу знаков первой производной в интервалах между экстремумами и на промежутках. Интервал | (-∞, -1) |-1 | (-1, 1) |1 | (1, +∞) f'(x) | - | 0 | + | 0 | + Исходя из таблицы знаков, функция f(x) убывает на промежутках (-∞, -1) и (1, +∞), и возрастает на промежутке (-1, 1). Теперь, когда мы проанализировали каждый пункт, давай построим график функции f(x) = x^3 - 3x: ``` | | + | + | + | - |____________________________________ ``` Надеюсь, что эта подробная информация помогла тебе лучше понять функцию и построить ее график. Если у тебя возникнут дополнительные вопросы, не стесняйся задавать их!