Каноническое уравнение прямой. Как решать???

Записать канонические уравнения прямой d:{█([email protected]+2=0)┤

Решение: Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух плоскостей….

1) Сначала найдём какую-либо точку, принадлежащую данной прямой. Как это сделать? Так как линия пересекает плоскость хОу, то в этой точке координата z = 0.

Поэтому в системе уравнений нужно обнулить координату z.  

Пусть z = 0, тогда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: . {█([email protected]+2=0)┤

Решаем систему: {█(2x+2y-6=0 |x(5)[email protected]+2=0  |x(2)=8x-10y+4=0)┤  

Почленно складываем уравнения и находим решение системы:

18x – 26 = 0,

x = 26/18 = 13/9,

y = (6 - 2x)/2 =  = (6 – (2*13/9))/2 = (54 – 26)/18 = 28/18 = 14/9.

Таким образом, точка M((13/9); (14/9); 0) принадлежит данной прямой.  

2) Как найти направляющий вектор прямой?  

Направляющий вектор нашей прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей. А если  , то вектор «p» найдём как векторное произведение векторов нормали:  .

Из уравнений плоскостей {█([email protected]+2=0)┤ снимаем их векторы нормали:

n1(2; 2 1), n2(4; -5; -1).

И находим направляющий вектор p прямой d, перпендикулярный двум заданным с векторного произведения.

I       j       k|        I       j

2     2      1|        2      2

4    -5    -1|        4      -5  = -2i + 4j - 10k + 2j + 5i – 8k = 3i + 6j -18k.

Вектор p = (3; 6; -18).

3) Составим канонические уравнения прямой по точке M((13/9); (14/9); 0)  и направляющему вектору : p = (3; 6; -18).

(x-13/9)/3=(y-14/9)/6=z/(-18)

ответ: d:(x-13/9)/3=(y-14/9)/6=z/(-18)

На практике можно пользоваться готовой формулой: если прямая задана пересечением двух плоскостей  , то вектор   является направляющим вектором данной прямой.

ответ с более качественным форматированием дан во вложении.