Какой трехзначный номер комнаты в гостинице, если он совпадает с половиной суммы всех шести двузначных чисел, которые можно образовать из цифр номера?

Обозначим номер комнаты за abc, где a,b,c – цифры в разряде сотен, десятков и единиц соответственно. Тогда шесть двузначных чисел выглядят как ab,ac,ba,bc,ca,cb. Ясно, что первое из этих чисел равно 10a+b, второе равно 10a+c, и так далее, последнее равно 10c+b. Сумма всех шести чисел равна 22a+22b+22c, а половина этой суммы равна 11a+11b+11c. Исходное число равно 100a+10b+c, тогда получаем уравнение 100a+10b+c=11a+11b+11c, откуда 89a=b+10c. Число в правой части меньше 100, тогда a=1. Значит, c=8, b=9. Таким образом, номер комнаты – 198.

ответ: 198.