Какое наименьшее количество чисел нужно удалить из набора 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 810, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом?

Пошаговое объяснение:

    Известно, что  корень из произведения равен произведению корней. Т.е. число будет полным квадратом, если его простые множители будут входить в четных степенях.

Даны сомножители:

10 ; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 810

   Надо удалить те, которые мешают превращению произведения в квадрат.

    Очевидно, что квадрат из 70 извлечь не удастся, так как семерка всего одна.  Удаляем 70

Оставшиеся 8 чисел : 10 ; 20; 30; 40; 50; 60; 80; 810  оканчиваются 8-ю нулями. Для удобства нули можно записать отдельно. Однако, пару чисел (одно нельзя, из 10⁷ точный квадрат не извлечь) оставим с нулями, так как 10 =2*5, и это если окажется, что 2 и 5 имеют нечетные степени. Перепишем в виде произведения простых множителей для каждого числа и 10⁶ :

(2*5)*(2²*5)*(3)*(2²)*(5)*(2*3)*(2³)*(3⁴)*10⁶ = 2⁹ * 3⁶ * 5³ * 10⁶ = (2*5) * 2⁸ * 3⁶ * 5² * 10⁶ = 10 * 2⁸ * 3⁶ * 5²

   2 и 5 оказались в нечетной степени, значит, сомножитель 10 - лишний

ответ: 2 числа, 70 и 10,  в наборе сомножителей - лишние.

Примечание: Вместо 10 можно вычеркнуть и другое число, являющееся произведением 10 на квадрат, например: 40 или 810, это не нарушит правила четности множителей, из которых состоит квадрат