Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел,начиная с 1, нужно сложить,чтобы их сумма была больше 120

Question

Математика: Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел,начиная с 1, нужно сложить,чтобы их сумма была больше 120​

abobov1234 · Answer

Необходимо сложить первые 16 последовательных натуральных чисел

Пошаговое объяснение:

$1;2;3;...;a_n\\S_n=1+2+3+...+a_n<120\\n-?$

Данная последовательность представляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, последний a(n) и разность прогрессии d=a_2-a_1=2-1=1

a_n=a_1+d(n-1)=1+1(n-1)=1+n-1=n

Сумма данной арифметической прогрессии

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n=\frac{1+n}{2}*n=\frac{n^2+n}{2}$

По условию, сумма данной прогрессии должна быть больше 120. Составим и решим неравенство:

$\frac{n^2+n}{2}120\\\\n^2+n240\\n^2+n-2400\\D=1-4*1*(-240)=1+960=961=31^2\\n_1=(-1+31)/2=30/2=15\\n_2=(-1-31)/2=-32/2=-16\\n\in N$

(n-15)(n+16)>0

+ - +

________ -16______0______15______

| //////////////////

n>15

По условию, число n должно быть минимальным.

Следовательно, n=16

Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел,начиная с 1, нужно сложить,чтобы их сумма была больше 120​