Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 1000, можно выбрать таким образом, чтобы никакая сумма двух выбранных чисел не делилась на их разность?

ответ: 334

Пошаговое объяснение:

Все ждал пока детки добавят решение, но ладно уж, добавлю сам.

Как я понял, в условии предполагается, что числа должны быть различны, ибо возникает деление на 0.

Предположим, что в таком наборе существуют два числа a и b (a>b), разность которых равна 1, но тогда a+b делится на a-b, ибо  a-b = 1.

Мы пришли к противоречию, такое невозможно.

Предположим теперь, что в таком наборе существует два числа a и b (a>b), разность которых равна 2.  Два числа, разность которых равна 2 имеют одинаковую четность, а значит их сумма a+b является четной, то есть делится на их разность a-b = 2.

Мы пришли к противоречию, такое невозможно.

Таким образом, если данный набор упорядочить в порядке возрастания, то разность между соседними числами в данном наборе не менее 3.

Пусть в данном наборе n членов, тогда с учетом вышесказанного должно выполняться неравенство:

1+3(n-1) <=1000

3(n-1)<=999

n-1 <=333

n<=334

То есть в таком ряду не более 334 членов.

Покажем  набор с 334 членами.

Возьмем все числа, что при делении на 3 дают остаток 1 и не более 1000:

1,4,7,10,13..., 1000 = 1+3*333 , то есть как раз 334 числа.

Возьмем любые два числа a и b (a>b) из данного набора.

Поскольку числа a и b дают при делении на 3 остаток 1, то их сумма a+b дает при делении на 3 остаток 2, то есть не делится на 3, однако их разность a-b дает при делении на 3 остаток 0, то есть делится на 3, а значит сумма a+b не может делится на разность a-b, то есть данный набор удовлетворяет условию задачи.